[论文解读] An existence result for Discrete Dislocation Dynamics in three dimensions

Thomas Hudson|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 58被引用 5

一句话总结

本文通过使用光滑滑移分布构造曲面位错的正则化能量，并利用内变分法推导Peach–Koehler力，建立了一个三维离散位错动力学（DDD）的数学上严格的框架。该研究证明了在位错线密度无限形成的时间点之前，耗散演化律的存在性与正则性，采用时间离散的梯度流方案实现。

ABSTRACT

We present a mathematical framework within which Discrete Dislocation Dynamics in three dimensions is well-posed. By considering smooth distributions of slip, we derive a regularised energy for curved dislocations, and rigorously derive the Peach-Koehler force on the dislocation network via an inner variation. We propose a dissipative evolution law which is cast as a generalised gradient flow, and using a discrete-in-time approximation scheme, existence and regularity results are obtained for the evolution, up until the first time at which an infinite density of dislocation lines forms.

研究动机与目标

• 建立三维离散位错动力学的适定数学表述，以解决3D DDD缺乏清晰理论基础的问题。
• 通过基于光滑滑移分布的正则化能量构造，确保应力场、应变场与能量密度场非奇异。
• 通过正则化能量的内变分法推导位错网络上的Peach–Koehler力，确保物理一致性。
• 提出一种以广义梯度流形式表述的耗散演化律，实现能量衰减与物理真实性。
• 证明在位错线密度首次形成无穷大的时间点之前，DDD演化问题解的存在性与正则性。

提出的方法

• 将位错建模为闭合1-电流（定向Lipschitz曲线），以满足滑移边界处的拓扑与运动学约束。
• 构建仅依赖于位错线边界（即滑移面边界）的正则化内能，确保场量非奇异。
• 利用傅里叶分析与Mura框架，推导出无需显式弹性格林函数即可计算的能量核积分表达式。
• 通过能量泛函对位错位置的内变分法推导Peach–Koehler力，获得物理一致的驱动力表达式。
• 在适当的希尔伯特空间中将耗散演化律表述为广义梯度流，确保能量耗散。
• 对梯度流应用时间离散的时序逼近方案，证明解在爆破时间前的存在性与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否建立一个数学上适定的3D离散位错动力学表述，以确保应力场与能量场非奇异？
• RQ2 如何从正则化能量泛函中严格推导曲面位错网络上的Peach–Koehler力？
• RQ3 位错运动的恰当耗散演化律是什么，以确保能量衰减与物理一致性？
• RQ4 能否证明DDD演化问题的解在位错线密度首次趋于无穷大的时刻之前的存在性与正则性？
• RQ5 如何通过明确定义的积分核使该理论在计算上可行，并与实际DDD模拟兼容？

主要发现

• 推导出仅依赖于滑移面边界（即位错线）的正则化能量泛函，确保应力场与能量场非奇异。
• 通过能量泛函的内变分法严格推导出Peach–Koehler力，为位错网络上的驱动力提供了数学上严谨的表达式。
• 演化律以广义梯度流形式表述，确保内部能量随时间耗散。
• 利用时间离散逼近方案，证明了DDD演化问题解的存在性与正则性。
• 解的存在时间可延伸至位错线密度首次趋于无穷大的时刻，此为系统自然的爆破时间。
• 该理论适用于一般线弹性材料，包括各向异性的材料，并提供了无需显式格林函数即可计算的能量积分核。