[论文解读] An exotic Springer correspondence for symplectic groups

Syu Kato|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过构造一个 $G$-概形 $\mathfrak{N}$，即奇异幂零锥，为辛群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 建立了一种奇特的 Springer 对应关系，该奇异幂零锥参数化了与类型 $C_n$ 的 Weyl 群的不可约表示一一对应的 $G$-轨道。关键结果是 $\mathfrak{N}$ 中 $G$-轨道与 $\mathsf{Irr}W$ 之间存在双射对应，该结果推广了经典 Springer 对应关系，并扩展了类型 $C$ 的 Deligne-Langlands 对应关系。

ABSTRACT

This paper is a sequel to math.RT/0601155. Let G be a complex symplectic group. In math.RT/0601155, we constructed a certain G-variety N = N_1, which we call the (1-) exotic nilpotent cone. In this paper, we study the set of G-orbits of the variety N. It turns out that the variety N gives a variant of the Springer correspondence for the Weyl group of type C, but shares a similar flavor with that of type A case. (I.e. there appears no non-trivial local system and the correspondence is bijective.) As an application, we present one sufficient condition for the bijectivity of our exotic Deligne-Langlands correspondence [K1].

研究动机与目标

• 定义并研究奇异幂零锥 $\mathfrak{N}$ 作为由 $G$-模 $\mathbb{V} = V_1 \oplus V_2$ 导出的 $G$-概形，其中 $V_1 = \mathbb{C}^{2n}$ 且 $V_2 = \wedge^2 V_1 / \mathbb{C}$。
• 在 $\mathfrak{N}$ 中的 $G$-轨道与类型 $C_n$ 的 Weyl 群的不可约表示之间建立几何对应关系。
• 通过在充分条件下证明双射性，为类型 $C_n$ 的 Deligne-Langlands 对应关系提供几何实现。
• 通过在 $\mathfrak{N}$ 上纤维分量的 Borel-Moore 同调上构造 $W$-模结构，推广 Grinberg 的广义 Springer 对应关系。

提出的方法

• 将概形 $\mathfrak{N}$ 构造为一个双有理的射影态射 $\mu: F \to \mathbb{V}$ 的像，其中 $F = G \times^B \mathbb{V}^+$，$\mathbb{V}^+$ 为 $\mathbb{V}$ 的正权重部分。
• 利用 $G \times (\mathbb{C}^\times)^2$-作用在 $\mathbb{V}$ 上，使其下降到 $\mathfrak{N}$，从而保证其几何性质，如正规性和双有理性。
• 对 $X \in \mathbb{O}$ 定义 $M_\mathbb{O} = H_{\mathrm{codim}\,\mathbb{O}}(\mu^{-1}(X), \mathbb{C})$，并通过 Ginzburg 理论赋予其 $W$-模结构。
• 通过中间集合 $\mathcal{MP}(n)$ 和 $\mathcal{SP}(n)$，在 $\mathfrak{N}$ 中的 $G$-轨道与 $\mathcal{P}_2(n)$（即和为 $n$ 的两对分拆的集合）之间建立双射。
• 利用稳定子群的连通性（通过 Igusa 的结果）以及数值恒等式 $|\mathcal{MP}(n)| = |\mathsf{Irr}W|$，证明轨道到表示的对应关系的单射性。
• 应用类型 $B_n$ 的双参数扩展仿射 Hecke 代数理论，验证 exotic Deligne-Langlands 对应关系的正则性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过除标准幂零锥以外的几何对象，为辛群构造 Springer 对应关系的一种变体？
• RQ2 奇异幂零锥 $\mathfrak{N}$ 中的 $G$-轨道的结构是什么？它们与分拆对等组合数据有何关联？
• RQ3 映射 $\mathbb{O} \mapsto M_\mathbb{O}$ 是否在 $\mathfrak{N}$ 中的 $G$-轨道与 Weyl 群 $W$ 的不可约表示之间产生双射对应？
• RQ4 在何种条件下，exotic Deligne-Langlands 对应关系成为双射？这与 $\mathfrak{N}$ 的几何结构有何关联？
• RQ5 是否可以将 exotic Springer 对应关系扩展为包含局部系统的关系？它是否会像类型 $A$ 一样自然地避免非平凡局部系统？

主要发现

• 奇异幂零锥 $\mathfrak{N}$ 中的 $G$-轨道集合与 $\mathcal{P}_2(n)$（即和为 $n$ 的两对分拆的集合）之间存在一一对应。
• 映射 $\mathbb{O} \mapsto M_\mathbb{O} = H_{\mathrm{codim}\,\mathbb{O}}(\mu^{-1}(X), \mathbb{C})$ 在 $\mathfrak{N}$ 中的 $G$-轨道与 $\mathsf{Irr}W$（即类型 $C_n$ 的 Weyl 群的不可约表示）之间建立了双射。
• $\mathfrak{N}$ 是正规的，且态射 $\mu: F \to \mathfrak{N}$ 是奇点的双有理射影解析。
• $\mathfrak{N}$ 的定义理想由 $\mathbb{C}[\mathbb{V}]^G_+ \cdot \mathbb{C}[\mathbb{V}]$ 生成，具体为 $\mathbb{C}[V_2]^G_+ \cdot \mathbb{C}[\mathbb{V}]$，表明其基于不变量的构造方式。
• $\mathfrak{N}$ 中 $G$-轨道的稳定子群是连通的，这对证明轨道到表示对应关系的单射性至关重要。
• 对于参数为 $(-q_1, q_1, q_2)$ 的类型 $B_n$ 的扩展仿射 Hecke 代数，exotic Deligne-Langlands 对应关系的正则性条件自动成立，前提是 $-q_1^2 \neq q_2^{\pm m}$ 且 $q_2^l \neq 1$，其中 $0 \leq m < n$ 且 $1 \leq l < 2n$。