[论文解读] An expansion for self-interacting random walks

Remco van der Hofstad, M.P. Holmes|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 9

一句话总结

本文为自相互作用的随机游走提出了一种微扰展开，使得在已知存在条件下的速度和方差能够得到显式公式。该研究在小激励或强化参数下，于高维情形下为兴奋随机游走和强化随机游走建立了具有显式误差界的大数定律与中心极限定理。

ABSTRACT

We derive a perturbation expansion for general self-interacting random walks, where steps are made on the basis of the history of the path. Examples of models where this expansion applies are reinforced random walk, excited random walk, the true (weakly) self-avoiding walk, loop-erased random walk, and annealed random walk in random environment. In this paper we show that the expansion gives rise to useful formulae for the speed and variance of the random walk, when these quantities are known to exist. The results and formulae of this paper have been used elsewhere by the authors to prove monotonicity properties for the speed (in high dimensions) of excited random walk and related models, and certain models of random walk in random environment. We also derive a law of large numbers and central limit theorem (with explicit error terms) directly from this expansion, under strong assumptions on the expansion coefficients. The assumptions are shown to be satisfied by excited random walk in high dimensions with small excitation parameter, a model of reinforced random walk with underlying drift and small reinforcement parameter, and certain models of random walk in random environment under strong ellipticity conditions. This is the extended version of the paper, where we provide all proofs.

研究动机与目标

• 为自相互作用随机游走建立一种通用的微扰展开，以分析其长时间行为。
• 在这些量存在的前提下，提供速度和方差的显式公式，从而提升分析的可处理性。
• 为如兴奋随机游走和强化随机游走等模型建立具有显式误差项的大数定律与中心极限定理。
• 在对展开系数施加强假设的前提下，验证该展开的适用性，表明其在高维情形下的关键模型中成立。
• 实现自相互作用模型中单调性和标度行为的参数依赖性分析，特别是在微扰区域。

提出的方法

• 基于路径历史和转移概率依赖性，推导出自相互作用随机游走的微扰展开。
• 利用该展开，将位置增量的协方差表示为涉及过去步长和漂移修正的系数。
• 将展开应用于推导期望位置和协方差的递推关系，通过系数 $ a_m^{[i]} $ 和 $ \pi_m(y) $ 纳入微扰修正项。
• 通过有界尾部和 $ a_m^{[i]} $ 与 $ \theta_r^{[i]} $ 的方式，建立校正项的收敛性，确保渐近有效性。
• 利用展开推导出在对展开系数施加强假设条件下，大数定律与中心极限定理的显式误差界。
• 验证所要求的假设在兴奋随机游走（小激励）、带漂移的强化随机游走（小强化）以及强椭圆性条件下的随机环境中随机场的退火随机游走中均成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为自相互作用随机游走推导出一种通用的微扰展开，以分析其速度和方差？
• RQ2 在何种条件下，该展开能导出具有显式误差项的大数定律与中心极限定理？
• RQ3 对于高维情形下小激励的兴奋随机游走，展开系数是否满足必要的衰减与可求和条件？
• RQ4 该展开能否用于推导出自相互作用模型中速度的单调性性质？
• RQ5 该方法是否适用于随机环境中的退火随机游走？在何种条件下能导出中心极限定理？

主要发现

• 当这些量存在时，微扰展开能为自相互作用随机游走的速度和方差提供显式公式。
• 在小激励参数下，兴奋随机游走在维度 $ d \geq 6 $ 时成立大数定律，在维度 $ d \geq 9 $ 时成立中心极限定理，并给出显式误差项。
• 当强化参数相对于漂移足够小时，对一次强化随机游走与漂移的模型也得到了相同的结果。
• 已证明展开对系数的假设在高维小激励的兴奋随机游走以及小强化的强化随机游走中均成立。
• 该方法提供了一个框架，可用于推导参数依赖的估计与单调性结果，如后续应用所示。
• 该展开使得能够推导出中心极限定理的定量误差界，为更新与遍历方法提供了一种互补的途径。