[论文解读] An Expected Linear-Time Algorithm for the Farthest-Segment Voronoi Diagram

Elena Khramtcova, Evanthia Papadopoulou|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在已知无穷远处面序列（其构成三阶戴维森-施尼茨尔序列）的条件下，构造最远线段Voronoi图的期望线性时间算法。该方法基于高斯映射导出的弧序列，采用随机增量构造，通过新颖的中间结构处理不连通的Voronoi区域，实现O(h)期望时间复杂度，其中h为图的复杂度。

ABSTRACT

We present an expected linear-time algorithm to construct the farthest-segment Voronoi diagram, given the sequence of its faces at infinity. This sequence forms a Davenport-Schinzel sequence of order 3 and it can be computed in O(n log n) time, where n is the number of input segments. The farthest-segment Voronoi diagram is a tree, with disconnected Voronoi regions, of total complexity Theta(n) in the worst case. Disconnected regions pose a major difficulty in deriving linear-time construction algorithms for such tree-like Voronoi diagrams. In this paper we present a new approach towards this direction.

研究动机与目标

• 开发一种构造最远线段Voronoi图的线性时间算法，该图具有类似树状结构且存在不连通区域，使得高效构造变得复杂。
• 将点Voronoi图所用的随机增量框架扩展至非点状站点，特别是线段，尽管不连通区域带来了结构性挑战。
• 处理无穷远处Voronoi面序列中三阶戴维森-施尼茨尔序列所引入的复杂性，该序列在子集操作下不保持子序列性质。
• 提出一类新的中间图——弧序列的恰当最远Voronoi图，其结构与线段Voronoi图相似，但不等价于抽象Voronoi图。
• 为未来确定性线性时间算法以及动态更新和高阶Voronoi图的应用奠定基础。

提出的方法

• 该算法通过按随机顺序处理输入线段的高斯映射中的弧，逐步构建最远线段Voronoi图。
• 维护一个增强的弧序列G′_i，其中包含原始弧和为表示中间Voronoi结构而新引入的人工弧。
• 将每个新弧α_{i+1}插入当前最远Voronoi图FVD(G′_i)中，由于随机化，每次插入的期望时间复杂度为O(1)。
• 该方法采用逆向分析：插入α_{i+1}的期望代价受FVD(G′_{i+1})中一个随机面及其邻接面的期望复杂度限制，两者均为O(1)，因为FVD(G′_i)的大小为O(i)。
• 在G′_i中相邻原始弧之间引入新弧以模拟插入α_{i+1}的影响，且每步引入的新弧数量在期望意义下为O(1)。
• 该算法利用了FVD(G′_i)始终保持为复杂度为O(i)的恰当树结构，从而确保整体时间复杂度为期望线性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在已知无穷远处面序列的条件下，最远线段Voronoi图能否实现期望线性时间构造？
• RQ2 在随机增量构造框架中，如何处理最远线段图中不连通的Voronoi区域？
• RQ3 在增量构造过程中形成的中间图具有何种结构性质？能否用于实现线性时间复杂度？
• RQ4 为何Voronoi面序列的子序列性质在子集线段中不成立？这对算法设计有何影响？
• RQ5 本文所用的随机增量方法能否被适配至其他具有类似结构性挑战的树状Voronoi图？

主要发现

• 最远线段Voronoi图在最坏情况下总复杂度为Θ(n)，形成一棵具有不连通区域的树。
• 无穷远处Voronoi面的序列构成一个三阶戴维森-施尼茨尔序列，可在O(n log n)时间内计算。
• 在增量构造过程中，每步插入操作引入的新弧的期望数量为O(1)，从而支持线性期望时间复杂度。
• 该算法在期望O(h)时间内运行，其中h为最终最远线段Voronoi图的复杂度，因此在期望意义下是最优的。
• 中间图FVD(G′_i)是弧序列的恰当最远Voronoi图，具有O(i)复杂度，且其结构特性与抽象Voronoi图不同。
• 尽管随机方法取得成功，但最远线段Voronoi图的确定性线性时间构造仍是开放问题。