[论文解读] An explanation of the Newman-Janis Algorithm

S. P. Drake P. Szekeres|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 1998

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用 51

一句话总结

本文通过在先进类光坐标系下分析 Newman-Janis 算法的五步过程，对其实现从 Reissner-Nordström 解生成 Kerr-Newman 度规的成功提供了严格的解释。证明了该算法仅能作为完美流体解生成 Kerr 度规，且作为唯一代数特殊、真空 Einstein-Maxwell 解生成 Kerr-Newman 度规，从而解决了长期以来对其人为性或任意性的疑虑。

ABSTRACT

After the original discovery of the Kerr metric, Newman and Janis showed that this solution could be ``derived'' by making an elementary complex transformation to the Schwarzschild solution. The same method was then used to obtain a new stationary axisymmetric solution to Einstein's field equations now known as the Kerr-newman metric, representing a rotating massive charged black hole. However no clear reason has ever been given as to why the Newman-Janis algorithm works, many physicist considering it to be an ad hoc procedure or ``fluke'' and not worthy of further investigation. Contrary to this belief this paper shows why the Newman-Janis algorithm is successful in obtaining the Kerr-Newman metric by removing some of the ambiguities present in the original derivation. Finally we show that the only perfect fluid generated by the Newman-Janis algorithm is the (vacuum) Kerr metric and that the only Petrov typed D solution to the Einstein-Maxwell equations is the Kerr-Newman metric.

研究动机与目标

• 澄清 Newman-Janis 算法为何能成功生成 Kerr-Newman 度规，以反驳其被许多物理学家视为人为或任意程序的看法。
• 确定该算法在生成爱因斯坦方程有效解时的精确条件，特别是关于复化选择的条件。
• 研究该算法是否能生成与 Kerr 度规匹配的完美流体内部解，特别是在旋转情况下。
• 确立 Kerr-Newman 度规作为通过该算法可获得的唯一代数特殊、真空 Einstein-Maxwell 解的唯一性。
• 证明该算法中的复化过程并非任意，而是由生成一致解的要求唯一确定。

提出的方法

• 将 Newman-Janis 算法形式化为五步程序：(1) 在先进类光坐标系下表示种子度规，(2) 从度规构造一个光标架，(3) 对光标架分量进行复坐标变换，(4) 使用新的复化光标架将度规转换回实形式，(5) 验证所得度规是否满足爱因斯坦方程。
• 该方法适用于先进 Eddington-Finkelstein 坐标系下的静态、球对称种子度规，其一般形式为 $ ds^2 = e^{2 ilde{ u}(r)}du^2 + e^{ ilde{ u}(r)+ ilde{eta}(r)}dudr - r^2(d heta^2 + an^2 heta d heta^2) $。
• 该算法通过 $ r \to r + ia\cos\theta $ 对径向坐标进行复化，随后将度规函数扩展为复共轭形式，确保所得度规保持实数且对称。
• 分析采用 Newman-Penrose 形式，计算自旋系数和 Weyl 标量，以 Petrov 类型对结果时空进行分类。
• 使用 Maple V 的 Tensor 和 Debever 包进行符号计算，以验证真空与 Einstein-Maxwell 解的 Ricci 标量。
• 本文推导出度规函数 $ j(r) $ 和 $ k(r) $ 的条件，使得结果时空为代数特殊（Petrov 类型 D），得出唯一解 $ k(r) = r^2 $ 与 $ j(r) = r^2 + d_1 r + d_0 $，当常数取质量与电荷参数时，该解退化为 Kerr-Newman 度规。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管许多物理学家认为 Newman-Janis 算法是人为或任意的，为何它仍能成功生成 Kerr-Newman 度规？
• RQ2 在何种精确条件下，Newman-Janis 算法能生成爱因斯坦方程的有效解，特别是关于复化选择的条件？
• RQ3 Newman-Janis 算法能否生成与 Kerr 度规匹配的完美流体解，特别是在旋转情况下？
• RQ4 在 Newman-Janis 算法生成的解类中，Kerr-Newman 度规在代数特殊时空中的唯一性如何？
• RQ5 Newman-Janis 算法中的复化过程是否任意，还是由一致性和解的有效性要求唯一确定？

主要发现

• 从静态球对称种子度规出发，Newman-Janis 算法唯一能生成的完美流体时空是真空 Kerr 度规，这仅在压强与能量密度为零时发生。
• 所有通过 Newman-Janis 算法生成的代数特殊（Petrov 类型 D）时空必须满足 $ k(r) = r^2 + c_1(r + c_1/4) $，且满足条件 $ c_1^2 - 4c_0 = 0 $，从而得出 $ k(r) = r^2 + c_1(r + c_1/4) $，该条件唯一刻画了类型 D 解。
• 唯一通过该算法生成的代数特殊、且 Ricci 标量为零的时空——即 Einstein-Maxwell 方程的解——是 Kerr-Newman 度规，当 $ c_1 = 0 $，$ j(r) = r^2 + d_1 r + d_0 $，且常数取质量与电荷参数时，该解唯一出现。
• Newman-Janis 算法中的复化过程并非任意；它由要求所得度规为实数、对称且满足爱因斯坦方程的条件唯一确定，从而解释了其成功的原因。
• Drake-Turolla 度规在非旋转极限下与 Kerr 度规光滑匹配且为完美流体，但当旋转非零时无法成为旋转完美流体解，因其不满足流体方程。
• Newman-Janis 算法无法生成真空以外的非真空完美流体解，其唯一非真空解为 Kerr-Newman 度规，该解是代数特殊、Einstein-Maxwell 时空类中的唯一解。