[论文解读] An explicit and practically invariants-preserving method for conservative systems

Wenjun Cai, Yuezheng Gong+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Numerical methods for differential equations参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文提出了一种显式不变量保持（EIP）方法，将高阶显式Runge-Kutta格式与简化的投影技术相结合，以在保守系统中保持不变量。该方法保持了与底层Runge-Kutta方法相同的精度阶数，并使不变量误差达到$\mathcal{O}(h^{2(p+1)})$量级，对于足够高阶的方法可达到机器精度。

ABSTRACT

An explicit numerical strategy that practically preserves invariants is derived for conservative systems by combining an explicit high-order Runge-Kutta (RK) scheme with a simple modification of the standard projection approach, which is named the explicit invariants-preserving (EIP) method. The proposed approach is shown to have the same order as the underlying RK method, while the error of invariants is analyzed in the order of $\mathcal{O}\left(h^{2(p+1)} ight),$ where $h$ is the time step and $p$ represents the order of the method. When $p$ is appropriately large, the EIP method is practically invariants-conserving because the error of invariants can reach the machine accuracy. The method is illustrated for the cases of single and multiple invariants, with regard to both ODEs and high-dimensional PDEs. Extensive numerical experiments are presented to verify our theoretical results and demonstrate the superior behaviors of the proposed method in a long time numerical simulation. Numerical results suggest that the fourth-order EIP method preserves much better the qualitative properties of the flow than the standard fourth-order RK method and it is more efficient in practice than the fully implicit integrators.

研究动机与目标

• 开发一种显式数值方法，以在保守系统中保持不变量，且无需求解非线性方程。
• 克服标准显式Runge-Kutta方法的局限性，后者在二次型以上的一般多项式不变量上无法保持。
• 通过简化的投影方法，将守恒量的误差降低至机器精度，实现实际的不变量保持。
• 将不变量保持方法的适用范围扩展至高维PDE和具有多个不变量的系统。
• 与全隐式和标准显式格式相比，展示出更优的长时间数值稳定性和效率。

提出的方法

• 该方法将显式高阶Runge-Kutta（RK）格式与一种改进的投影技术相结合，避免求解非线性方程。
• 投影步骤通过基于不变量的离散梯度的简化拉格朗日乘子方法调整解，以强制满足不变量。
• 该方法被推导为标准投影方法的实用简化版本，保持了底层RK格式的精度阶数。
• 该方法被推广以处理单个和多个不变量，包括哈密顿系统中的能量和质量。
• 对于PDE，该方法在空间半离散化后应用，可保持高维系统（如Gross-Pitaevskii方程）中的不变量。
• 通过二次化策略将一般不变量重新表述为二次形式，从而通过投影实现显式处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种显式数值方法，可在保持基础积分器精度阶数的同时，保持保守系统中的一般多项式不变量？
• RQ2 如何简化基于投影的不变量保持方法，以避免非线性求解并保持显式结构？
• RQ3 所提方法中不变量误差的收敛速率如何？对于高阶格式，能否达到机器精度？
• RQ4 与标准显式和全隐式积分器相比，EIP方法在长时间模拟中的性能和守恒特性如何？
• RQ5 该方法能否有效扩展至具有多个守恒量的高维PDE，例如玻色-爱斯坦凝聚体中的情形？

主要发现

• EIP方法保持了与底层显式Runge-Kutta格式相同的精度阶数，不变量误差为$\mathcal{O}(h^{2(p+1)})$量级。
• 对于足够高阶的方法（如四阶），不变量误差可达到机器精度，使该方法在实际中可视为不变量保持。
• 对ODE和PDE的数值实验，包括玻色-爱斯坦凝聚体中的环状和三维涡旋动力学，证实了质量与能量在长时间内可保持至机器精度。
• 四阶EIP方法在长时间模拟中，相较于标准四阶RK方法，更优地保持了流的定性性质。
• 由于其显式结构和线性求解需求，EIP方法在实际中比全隐式积分器更高效。
• 该方法在多个不变量和高维问题中均保持了优异的守恒行为，二维和三维动力学中均观察到一致的误差趋势。