[论文解读] An explicit approach to residues on and dualizing sheaves of arithmetic surfaces

Matthew Morrow|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用 21

一句话总结

本文利用二维局部域，发展了算术曲面的显式残数理论，建立了点周围微分形式的互惠律，并通过残数映射构造了相对对偶化层。主要贡献是给出了对偶化层的显式公式，以积分残数表示，将经典结果推广至具有有限剩余域的戴德金整环上的算术曲面。

ABSTRACT

We develop a theory of residues for arithmetic surfaces, establish the reciprocity law around a point, and use the residue maps to explicitly construct the dualizing sheaf of the surface. These are generalisations of known results for surfaces over a perfect field. In an appendix, explicit local ramification theory is used to recover the fact that in the case of a local complete intersection the dualizing and canonical sheaves coincide.

研究动机与目标

• 利用二维局部域，发展算术曲面的残数理论。
• 在二维正常、完备局部环上，建立微分形式的互惠律。
• 通过局部残数映射，显式构造算术曲面的相对对偶化层。
• 将经典代数几何中典范层与对偶化层之间的关系推广至算术情形，特别是对局部完全交情形。
• 为算术几何时的格罗滕迪克对偶性提供显式adèlic方法。

提出的方法

• 在混合特征的二维局部域上的连续微分形式上定义相对残数映射。
• 证明残数映射在局部域有限扩张下的函子性。
• 在具有有限剩余域的二维正常、完备局部环上，建立微分形式的互惠律。
• 利用闭点与曲线处的局部残数映射，定义对偶化层的全局截面条件。
• 应用显式局部分歧理论，将不同理想与完全交环中的雅可比行列式联系起来。
• 证明在局部完全交情形下，通过对偶化层与典范层通过雅可比行列式相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在混合特征下，为算术曲面上微分形式显式定义残数？
• RQ2 在完备离散赋值环上的二维正常局部环上，微分形式的互惠律的精确形式是什么？
• RQ3 如何通过残数映射显式构造算术曲面的相对对偶化层？
• RQ4 在算术情形下，典范层与对偶化层在何种条件下重合？
• RQ5 在混合特征局部环上的局部完全交环中，不同理想与雅可比行列式之间有何关系？

主要发现

• 互惠律成立：对于定义在局部域K上正常、完备的二维局部环函数域上的任意微分形式ω，所有高度一素理想上的残数之和为零。
• 平坦、射影的算术曲面π:X→Spec(𝒪_K)的对偶化层ω_π由所有满足Res_{x,y}(fω)属于K在π(x)处的完备化的微分形式ω给出，其中x∈y⊂U且f∈𝒪_{X,y}。
• 对于局部完全交算术曲面，典范层与对偶化层重合，推广了经典代数几何结果。
• 正规环有限扩张的余对偶为雅可比行列式的逆，即ℂ(A/B) = J^{-1}A。
• 在完备离散赋值环上的完全交情形下，对偶模同构于雅可比理想的逆。
• 残数映射具有函子性：Res_F ∘ Tr_{F'/F} = Res_{F'}，其中F'/F为二维局部域的有限扩张。