[论文解读] An Explicit Construction of Quantum Expanders

Avraham Ben-Aroya, Oded Schwartz+1 more|ArXiv.org|Sep 6, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文首次通过量子版本的经典zig-zag积构造了常数度量子膨胀器。通过将zig-zag积应用于基量子膨胀器，作者实现了显式、常数度的量子膨胀器，其谱间隙被限定为$\lambda + O(\lambda^2)$，从而解决了量子膨胀器理论中一个长期存在的关键开放问题：此前的构造要么是显式的，要么是常数度的，但无法同时满足两者。

ABSTRACT

Quantum expanders are a natural generalization of classical expanders. These objects were introduced and studied by Ben-Aroya and Ta-Shma and by Hastings. In this note we show how to construct explicit, constant-degree quantum expanders. The construction is essentially the classical Zig-Zag expander construction, applied to quantum expanders.

研究动机与目标

• 构建显式、常数度的量子膨胀器，从而解决量子膨胀器理论中长期存在的空白。
• 将经典的zig-zag积构造推广至量子设置，同时保持膨胀特性。
• 确保所得到的量子膨胀器可通过多项式大小的量子线路高效实现。
• 证明量子zig-zag积在希尔伯特-施密特范数下保持谱膨胀特性，且特征值衰减受控。

提出的方法

• 将经典的zig-zag积推广至量子态上的超算子，为$D_1$-正则的$G_1$和$D_2$-正则的$G_2$定义量子zig-zag积$G_1 ⓩ G_2$。
• 利用张量积$G_1 \otimes G_2$在保持谱膨胀的同时增加希尔伯特空间的维数。
• 应用平方运算$G^2$以改善谱间隙，将第二特征值减少至$\lambda^2$。
• 通过交替使用张量积、平方运算和zig-zag积，构建递归序列$G_t$，在保持常数度的同时扩展规模。
• 利用基超算子$H$作为$(D^8, D, \lambda)$量子膨胀器，其存在性由概率方法和先前结果保证。
• 通过在与单位算子正交的子空间上对算子范数进行有界估计，证明量子zig-zag积保持膨胀特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个既显式又为常数度的量子膨胀器，从而克服先前构造的局限性？
• RQ2 如何将经典的zig-zag积推广至量子设置，以保持谱膨胀特性？
• RQ3 量子zig-zag积的谱行为如何，特别是其超算子第二特征值的表现？
• RQ4 通过交替使用张量积、平方运算和zig-zag积的递归组合，能否生成一族显式、常数度的量子膨胀器？
• RQ5 最终生成的量子膨胀器的谱间隙$\overline{\lambda}$的定量界是什么？

主要发现

• 当$G_1$为$(N_1, D_1, \lambda_1)$且$G_2$为$(D_1, D_2, \lambda_2)$时，量子zig-zag积$G_1 ⓩ G_2$生成一个$(N_1 D_1, D_2^2, \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_2^2)$量子膨胀器。
• 递归构造$G_t$生成一个显式$(D^{8t}, D^2, \lambda_t)$量子膨胀器，其中$\lambda_t = \lambda + O(\lambda^2)$。
• 平方运算$G^2$保持膨胀特性，可将一个$(N, D, \lambda)$膨胀器转化为$(N, D^2, \lambda^2)$膨胀器。
• 张量积$G_1 \otimes G_2$将两个量子膨胀器合并为一个$(N_1 N_2, D_1 D_2, \max(\lambda_1, \lambda_2))$膨胀器。
• 基超算子$H$作为$(D^8, D, \lambda)$量子膨胀器的存在性由概率方法和先前的量子膨胀器研究结果保证。
• 谱膨胀的证明依赖于将算子空间分解为与单位算子平行和正交的子空间，其范数衰减分别受$\lambda_1$和$\lambda_2$有界。