[论文解读] An explicit construction of the Quillen homotopical category of dg Lie algebras

Boris Shoikhet|ArXiv.org|Jun 9, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文通过在Maurer-Cartan方程解上定义规范作用，显式构造了微分分次（dg）李代数的Quillen同伦范畴。证明了在该规范同伦关系下取商后的dg李代数范畴与Quillen-Hinich在拟同构处的局部化范畴等价，并确认Quillen的抽象同伦概念与这一显式构造一致。

ABSTRACT

Let $\g_1$ and $\g_2$ be two dg Lie algebras, then it is well-known that the $L_\infty$ morphisms from $\g_1$ to $\g_2$ are in 1-1 correspondence to the solutions of the Maurer-Cartan equation in some dg Lie algebra $\Bbbk(\g_1,\g_2)$. Then the gauge action by exponents of the zero degree component $\Bbbk(\g_1,\g_2)^0$ on $MC\subset\Bbbk(\g_1,\g_2)^1$ gives an explicit "homotopy relation" between two $L_\infty$ morphisms. We prove that the quotient category by this relation (that is, the category whose objects are $L_\infty$ algebras and morphisms are $L_\infty$ morphisms modulo the gauge relation) is well-defined, and is a localization of the category of dg Lie algebras and dg Lie maps by quasi-isomorphisms. As localization is unique up to an equivalence, it is equivalent to the Quillen-Hinich homotopical category of dg Lie algebras [Q1,2], [H1,2]. Moreover, we prove that the Quillen's concept of a homotopy coincides with ours. The last result was conjectured by V.Dolgushev [D].

研究动机与目标

• 为dg李代数的$L_\infty$同态提供一个显式、可计算的同伦定义。
• 证明在规范等价关系下取商的$L_\infty$同态范畴与Quillen-Hinich同伦范畴等价。
• 确立Quillen的抽象同伦概念与显式的规范理论构造一致。
• 将该构造推广至Koszul操作子上的dg模，扩展其适用范围。

提出的方法

• 定义一个微分分次李代数$\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)$，其Maurer-Cartan解参数化从$\mathfrak{g}_1$到$\mathfrak{g}_2$的$L_\infty$同态。
• 利用$\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)^0$在$MC\subset\Bbbk(\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2)^1$上的规范作用，定义$L_\infty$同态之间的显式同伦关系。
• 在微分分次李代数范畴中构造一个右柱面对象$\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$，通过类似路径的映射实现同伦。
• 使用时间依赖的Maurer-Cartan方程的解，定义一个$L_\infty$映射$U_{\mathrm{Cyl}}:\mathfrak{g}_1\to\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$，初始条件为$U_0$。
• 验证投影映射$p_0, p_1:\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)\to\mathfrak{g}_2$使相关图表交换，确保$U_{\mathrm{Cyl}}$诱导出一个同伦。
• 证明所得商范畴是在拟同构处的局部化范畴，因此与Quillen-Hinich范畴等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过规范理论同伦显式构造dg李代数的Quillen同伦范畴？
• RQ2 在规范等价关系下对$L_\infty$同态取商，是否得到在拟同构处的局部化？
• RQ3 Quillen的抽象同伦概念是否与Maurer-Cartan解上的显式规范作用一致？
• RQ4 该构造能否推广至Koszul操作子上的dg模？

主要发现

• 在规范等价关系下取商的dg李代数与$L_\infty$同态范畴定义良好，且其对象与原范畴相同。
• 该商范畴与Quillen-Hinich同伦范畴等价，即在拟同构处的局部化范畴。
• 在Maurer-Cartan解上的规范作用为dg李代数设定下Quillen同伦关系提供了完全显式的实现。
• 通过时间依赖的Maurer-Cartan方程解构造右柱面对象$\mathrm{Cyl}(\mathfrak{g}_2)$，实现了同伦的几何实现。
• 解$F(t) = \exp(ad(tH))(F(0)) + f(tH)(d_{\Bbbk}H)$满足时间依赖的Maurer-Cartan方程，确保$U_{\mathrm{Cyl}}$为$L_\infty$同态。
• 包含$p_0$、$p_1$与$U_{\mathrm{Cyl}}$的图表交换，确认$U_{\mathrm{Cyl}}$诱导出从$U_0$到$U_1$的同伦。