[论文解读] An Explicit Formulation of the Earth Movers Distance with Continuous Road Map Distances

Kyle Treleaven, Emilio Frazzoli|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Transportation and Mobility Innovations参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出了在连续一维道路网络上地球移动距离（EMD）的显式公式，相较于欧氏度量，能更准确地建模现实世界的运输距离。该方法将EMD表述为带有线性约束的凸优化问题，可通过数学规划实现高效计算，并在分段均匀分布下简化为二次规划。

ABSTRACT

The Earth movers distance (EMD) is a measure of distance between probability distributions which is at the heart of mass transportation theory. Recent research has shown that the EMD plays a crucial role in studying the potential impact of Demand-Responsive Transportation (DRT) and Mobility-on-Demand (MoD) systems, which are growing paradigms for one-way vehicle sharing where people drive (or are driven by) shared vehicles from a point of origin to a point of destination. While the ubiquitous physical transportation setting is the road network, characterized by systems of roads connected together by interchanges, most analytical works about vehicle sharing represent distances between points in a plane using the simple Euclidean metric. Instead, we consider the EMD when the ground metric is taken from a class of one-dimensional, continuous metric spaces, reminiscent of road networks. We produce an explicit formulation of the Earth movers distance given any finite road network R. The result generalizes the EMD with a Euclidean R1 ground metric, which had remained one of the only known non-discrete cases with an explicit formula. Our formulation casts the EMD as the optimal value of a finite-dimensional, real-valued optimization problem, with a convex objective function and linear constraints. In the special case that the input distributions have piece-wise uniform (constant) density, the problem reduces to one whose objective function is convex quadratic. Both forms are amenable to modern mathematical programming techniques.

研究动机与目标

• 解决在交通背景下连续非欧几里得基度量中缺乏显式EMD公式的不足。
• 开发一种计算上可行的方法，用于在具有连续距离的有限道路网络上计算EMD。
• 通过用实际道路网络距离替代简化的欧氏距离度量，实现对车辆共享和按需出行系统的精确建模。
• 提供一个通用的EMD计算框架，支持连续分布和分段均匀分布。

提出的方法

• 定义一类一维连续度量空间，用于建模具有任意图状拓扑结构的道路网络。
• 通过道路网络的精确路径基近似，构建EMD的有限维网络流公式。
• 将EMD表述为具有凸目标函数和线性约束的凸优化问题，从而可使用现代数学规划求解器。
• 引入ε-镶嵌的极限论证，证明精确与近似网络公式之间的等价性。
• 通过将连续运输问题映射到具有终端边和水平连接边的有限网络流问题，推导出EMD的显式表达式。
• 当输入分布为分段均匀时，将问题简化为二次规划，从而提升计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 地球移动距离能否在类似于真实道路网络的连续一维度量空间中显式公式化？
• RQ2 如何在不依赖离散近似或欧氏距离假设的前提下，高效计算有限道路网络上的EMD？
• RQ3 当基度量为连续道路网络距离时，EMD公式的计算复杂度和结构如何？
• RQ4 EMD公式能否在分段均匀密度分布下简化为二次规划？
• RQ5 所提出的EMD公式在多大程度上提升了按需出行系统中理论吞吐量预测的准确性？

主要发现

• 本文首次为连续非欧几里得基度量（具体为一维道路网络）提供了EMD的显式公式。
• EMD被表达为具有线性约束的有限维凸优化问题，使其可通过标准优化技术高效求解。
• 对于分段均匀分布，EMD公式可简化为凸二次规划问题，从而实现更快、更可扩展的计算。
• 通过ε-镶嵌的极限论证，证明了该公式在细粒度离散化极限下收敛于真实EMD，从而在理论上证明了其正确性。
• 仿真结果表明，所提出的EMD公式能够准确预测在动态接送与配送问题（DPDP）建模下的车辆共享系统的最大理论吞吐量。
• 该方法克服了以往DPDP模型使用简化欧氏距离的关键局限，为城市出行系统中的行程成本提供了更真实的表示。