[论文解读] An explicit Gross-Zagier formula related to the Sylvester Conjecture

Hu, Yueke, Jie Shu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文为椭圆曲线 $E_p: x^3 + y^3 = p$ 和 $E_{3p^2}: x^3 + y^3 = 3p^2$ 建立了显式的 Gross-Zagier 公式，证明在 $p \equiv 4,7 \pmod{9}$ 且 $3 \not\equiv \square \pmod{p}$ 的条件下，$|\text{X}(E_p)| \cdot |\text{X}(E_{3p^2})|$ 的 3-部分与 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的预测一致。该结果通过算术几何与 Heegner 点方法，解决了 Sylvester 猜想关于立方和问题的关键情形。

ABSTRACT

Let $p\equiv 4,7\mod 9$ be a rational prime number such that $3\mod p$ is not a cubic residue. In this paper we prove the 3-part of the product of the full BSD conjectures for $E_p$ and $E_{3p^3}$ is true using an explicit Gross-Zagier formula, where $E_p: x^3+y^3=p$ and $E_{3p^2}: x^3+y^3=3p^2$ are the elliptic curves related to the Sylvester conjecture and cube sum problems.

研究动机与目标

• 在特定同余条件下，解决椭圆曲线 $E_p: x^3 + y^3 = p$ 和 $E_{3p^2}: x^3 + y^3 = 3p^2$ 的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想的 3-部分。
• 为 $E_p$ 和 $E_{3p^2}$ 的 Shafarevich-Tate 群阶的乘积建立显式的 Gross-Zagier 公式，重点关注 3-主部分。
• 通过解决 BSD 猜想中缺失的 3-部分，扩展先前关于秩与 Shafarevich-Tate 群有限性的结果。
• 通过 Heegner 点与 $L$-值，提供 Sylvester 猜想与 BSD 猜想之间更精细的算术联系。
• 验证在给定条件下，两个曲线的 BSD 公式的 3-进赋值与预测阶数完全一致。

提出的方法

• 利用 Gross-Zagier 公式，将 $E_p$ 的 $L$-函数导数与 Heegner 点的 Néron-Tate 高度联系起来。
• 应用复乘理论及虚二次域嵌入到 $\mathrm{M}_2(\mathbb{Q})$ 的方法，在 $X_0(3^5)$ 上构造 Heegner 点。
• 采用 $3$-进 $L$-函数与 $p$-进 $L$-值分析 BSD 公式的 3-主部分。
• 应用局部根数与符号计算，确认 $E_p$ 的解析秩为 1，$E_{3p^2}$ 的解析秩为 0，与 BSD 预测一致。
• 利用 $L$-函数的函数方程与特殊值，比较 BSD 公式两边的 3-进赋值。
• 应用类域论与 ray class fields 构造测试向量，并在自守形式背景下计算局部积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \equiv 4,7 \pmod{9}$ 且 $3$ 在模 $p$ 下不是立方剩余时，椭圆曲线 $E_p: x^3 + y^3 = p$ 的 BSD 猜想的 3-部分是否成立？
• RQ2 在 BSD 猜想下，$|\text{X}(E_p)| \cdot |\text{X}(E_{3p^2})|$ 的精确 $3$-进赋值是多少？
• RQ3 能否为 $E_p$ 与 $E_{3p^2}$ 的 Shafarevich-Tate 群阶的乘积导出显式的 Gross-Zagier 公式？
• RQ4 塔马加瓦数、扭量群与实周期如何贡献于这些曲线的 BSD 公式的 3-主部分？
• RQ5 在给定的算术条件下，BSD 公式的 3-主部分是否与 $L$-值和高度数据一致？

主要发现

• 对 $E_p$ 与 $E_{3p^2}$ 的 BSD 猜想的 3-部分已验证：$|\text{X}(E_p)| \cdot |\text{X}(E_{3p^2})|$ 的 3-进赋值与 BSD 公式的预测完全一致。
• 当 $p \equiv 4,7 \pmod{9}$ 且 $3$ 不是模 $p$ 的立方剩余时，$E_p$ 的解析秩为 1，$E_{3p^2}$ 的秩为 0，与 BSD 猜想一致。
• 乘积 $|\text{X}(E_p)| \cdot |\text{X}(E_{3p^2})|$ 是一个非零有理数，其 $3$-进赋值恰好与 BSD 公式预测一致。
• 已证明 $E_p(\mathbb{Q})$ 的生成元的 Néron-Tate 高度与 $s=1$ 处的 $L$-值，与 BSD 公式在 3-主部分内完全匹配。
• 计算了塔马加瓦数与扭量群阶，并发现其对 BSD 公式的 3-主部分贡献正确。
• 该证明依赖于在 $X_0(3^5)$ 上构造一个 Heegner 点，并计算其在模形式参数化下的像，以在 3-主层次验证 Gross-Zagier 公式。