[论文解读] An explicit Jacobian of dimension 3 with maximal Galois action

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 15

一句话总结

本文首次给出了ℚ上 genus 3 曲线的显式构造，其雅可比簇在挠点上的伽罗瓦作用达到最大，实现了伽罗瓦表示到 GSp₆(Ẑ) 的满射。通过使用 Serre 的猜想以及对约化类型和弗罗贝尼乌斯迹的计算技术，作者证明了模-ℓ 伽罗瓦表示是不可约且本原的，并包含平移变换，从而通过群论准则得出完全满射性。

ABSTRACT

We gives an explicit genus 3 curve over Q such that the Galois action on the torsion points of its Jacobian is a large as possible. That such curves exist is a consequence of a theorem of D. Zureick-Brown and the author; however, those methods do not produce explicit examples. We shall apply the general strategies of Hall and Serre in their open image theorems. We also make use of Serre's conjecture to show that the modulo ell Galois actions are irreducible. While we computationally focus on a single curve, the methods of this paper can be applied to a large family of genus 3 curves.

研究动机与目标

• 构造ℚ上 genus 3 曲线的首个显式例子，其雅可比簇在挠点上的伽罗瓦作用达到最大。
• 证明雅可比簇的 2-挠点与模-ℓ 挠点上的伽罗瓦表示满射到 GSp₆(Ẑ)。
• 展示 Hall 与 Serre 的开像定理方法可对显式曲线实现有效化。
• 证明 Serre 的猜想可用于建立模-ℓ 表示的不可约性，从而推动满射性的证明。
• 提供一个适用于大类光滑平面四次曲线的计算框架，而不仅限于本文研究的单一例子。

提出的方法

• 使用 Picard-Lefschetz 公式分析在坏约化素数（S = {7, 11, 83}）处的扭量群作用，表明 ρJ,ℓ(Ip) 是 ℓ 阶循环群。
• 计算在非分歧素数 p ∉ S ∪ {ℓ} 处弗罗贝尼乌斯元素的特征多项式 Pp(T) ∈ ℤ[T]，其模 ℓ 后即为 ρJ,ℓ(Frob_p) 的特征多项式。
• 应用 Serre 的猜想，证明模-ℓ 伽罗瓦表示 ρJ,ℓ 是不可约的，尤其针对二维复合因子的情形。
• 通过反证法证明 J[ℓ] 上伽罗瓦作用的本原性：假设非本原性将导致与对称群的阶与无分歧性约束矛盾。
• 利用来自命题 4.1 的像中平移变换的存在性，以及不可约性、本原性与包含平移变换的事实，推出像包含 Sp₆(𝔽ℓ)，从而实现完全满射性。
• 验证模 2 表示 ρJ,2(Gℚ) = GSp₆(𝔽₂)，通过命题 2.1 完成对 Ẑ 上满射性的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个ℚ上 genus 3 曲线，使其雅可比簇在挠点上的伽罗瓦作用达到最大？
• RQ2 Zureick-Brown 与 Zywina 的抽象存在性结果能否通过构造具体例子而实现有效化？
• RQ3 Serre 的猜想在多大程度上可用于建立高维阿贝尔簇上模-ℓ 伽罗瓦表示的不可约性？
• RQ4 如何将 Hall 与 Serre 的开像定理计算化，以验证挠点上伽罗瓦表示的满射性？
• RQ5 对于给定曲线，可使用哪些计算准则验证伽罗瓦像为完整的 GSp₆(Ẑ)？

主要发现

• 由ℙ²ℚ中四次方程定义的 genus 3 曲线的雅可比簇 J，其伽罗瓦表示满足 ρJ(Gℚ) = GSp₆(Ẑ)，在挠点上实现了最大可能的作用。
• 对所有奇素数 ℓ，模-ℓ 伽罗瓦表示 ρJ,ℓ 是不可约的，其证明基于 Serre 的猜想与显式弗罗贝尼乌斯迹计算。
• 对所有奇素数 ℓ，J[ℓ] 上的伽罗瓦作用是本原的，通过反证法证明，利用了无分歧性与对称群阶的约束。
• 对所有奇素数 ℓ，ρJ,ℓ 的像中包含一个平移变换，此结论由在 p ∈ {7, 11} 处的 Picard-Lefschetz 公式得出。
• 模 2 表示 ρJ,2 满射到 GSp₆(𝔽₂)，从而通过命题 2.1 完成对 Ẑ 上的完全满射性证明。
• 所提出的方法可推广至一大类光滑平面四次曲线，而不仅限于本文研究的特定曲线。