[论文解读] An Explicit Shimura Tower of Function Fields over a Number Field: An Application of Takeuchi's List

Takehiro Hasegawa|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文通过应用Elkies针对模塔的递归方法，首次在数域上——具体为ℚ(√3)——构造了显式的希米拉塔函数域。证明了希米拉曲线𝒳₀(𝔭₃²)是有理的（即亏格为0），且对n > 1，曲线𝒳₀(𝔭₃ⁿ)通过涉及x_j与x_{j+1}的三次关系式递归定义，系数属于ℚ(√3)，从而得到适用于郭帕码构造的渐近最优塔。

ABSTRACT

Elkies proposed a procedure for constructing explicit towers of curves, and gave two towers of Shimura curves as relevant examples. In this paper, we present a new explicit tower of Shimura curves constructed by using this procedure.

研究动机与目标

• 提供一个在数域上构造显式希米拉塔函数域的新方法，填补Elkies早期工作中的空白，后者仅提出但未实际构造此类塔。
• 通过显式几何与群论分析，证明在ℚ(√3)上的希米拉曲线𝒳₀(𝔭₃²)是有理的，即亏格为0。
• 利用Atkin-Lehner对合与模多项式关系，推导出定义塔{𝒳₀(𝔭₃ⁿ)}_{n>1}的递归方程组。
• 证明所得塔在ℓ ≠ 2,3的有限域𝔽_ℓ上渐近最优，从而在编码理论中具有应用潜力。
• 通过识别群(0;3,3,6)为该构造的来源，厘清算术三角群与显式希米拉塔之间的联系。

提出的方法

• 应用Elkies针对显式曲线塔构造的递归方法，利用全实域K = ℚ(√3)上四元数代数的结构。
• 利用𝒳₀(𝔭₃²)上的Atkin-Lehner对合ω_(𝔭₃²)导出有理参数化，并通过Möbius型变换确定其作用：ω^(2)(x) = -2(x-1)/(x+2)。
• 推导出塔中连续坐标x_j与x_{j+1}之间的递归三次方程：(-2(x_{j+1}-1)/(x_{j+1}+2))³ = 2((5-3√3)x_j³ + 4)/(x_j³ - 2(5-3√3))。
• 将递归关系转化为Kummer型形式：Y³ = [-8(5-3√3)(X+1)³ + 4(X-2)³] / [4(X+1)³ + (5-3√3)(X-2)³]，其中X = (2x-2)/(x+2)，Y = (2y-2)/(y+2)。
• 利用Hurwitz亏格公式，并分析与关联算术三角群Γ₂（型为(0;3,3,3,3,3,3)）相关的椭圆点（阶为3），证明𝒳₀(𝔭₃²)的亏格为0。
• 将塔模素理想𝔭_ℓ（ℓ ≠ 2,3）约化，以证明其在𝔽_ℓ上渐近最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用Elkies的递归方法，在ℚ以外的数域上构造出显式的希米拉塔函数域？
• RQ2 在ℚ(√3)上的希米拉曲线𝒳₀(𝔭₃²)是否为有理曲线？若是，其显式有理参数化为何？
• RQ3 该塔中更高层𝒳₀(𝔭₃ⁿ)（n > 2）的递归方程组如何定义？
• RQ4 该塔是否在有限域上产生渐近最优的函数域，从而支持编码理论中的应用？
• RQ5 算术三角群(0;3,3,6)如何与该显式希米拉塔的构造相关联？

主要发现

• 在ℚ(√3)上的希米拉曲线𝒳₀(𝔭₃²)是亏格为0的有理曲线，该结论由Hurwitz亏格公式及椭圆点分析所证实。
• 对每个n > 1，曲线𝒳₀(𝔭₃ⁿ)由n−1个坐标x₁,…,x_{n−1}定义，满足n−2个形式为(-2(x_{j+1}−1)/(x_{j+1}+2))³ = 2((5−3√3)x_j³ + 4)/(x_j³ − 2(5−3√3))的递归方程。
• 该塔在所有ℓ ≠ 2,3的有限域𝔽_ℓ上渐近最优，因为模𝔭_ℓ约化后产生具有最大类域塔行为的函数域塔。
• 在𝒳₀(𝔭₃²)上的Atkin-Lehner对合ω^(2)的作用为ω^(2)(x) = -2(x−1)/(x+2)，且其置换每个点在覆盖映射下的三个原像。
• 由推导出的方程可显式计算模多项式Φ_{𝔭₃}(x,y)与Φ_{𝔭₃²}(x,y)，将该塔与经典模多项式理论联系起来。
• 该构造基于型为(0;3,3,6)的算术三角群，且根据Takeuchi列表，其余73个此类群均无法生成此类显式塔。