[论文解读] An explicit solution of a non-linear quadratic constrained stochastic control problem with an application to optimal liquidation in dark pools with adverse selection

Peter Kratz|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文针对具有跳变和绝对值成本项的非线性二次随机控制问题，提出了一种闭式解法，通过状态依赖的多项式假设，将哈密顿-雅可比-贝尔曼偏微分方程降为可解的常微分方程组系统。关键贡献在于提出了一项验证定理，证明值函数为分段多项式，并在时变边界处满足光滑匹配条件，从而在存在逆向选择的暗池中实现了显式最优平仓策略。

ABSTRACT

We study a constrained stochastic control problem with jumps; the jump times of the controlled process are given by a Poisson process. The cost functional comprises quadratic components for an absolutely continuous control and the controlled process and an absolute value component for the control of the jump size of the process. We characterize the value function by a "polynomial" of degree two whose coefficients depend on the state of the system; these coefficients are given by a coupled system of ODEs. The problem hence reduces from solving the Hamilton Jacobi Bellman (HJB) equation (i.e., a PDE) to solving an ODE whose solution is available in closed form. The state space is separated by a time dependent boundary into a continuation region where the optimal jump size of the controlled process is positive and a stopping region where it is zero. We apply the optimization problem to a problem faced by investors in the financial market who have to liquidate a position in a risky asset and have access to a dark pool with adverse selection.

研究动机与目标

• 求解具有跳跃动态和混合二次与绝对值成本项的非线性二次约束随机控制问题。
• 在终端状态约束下，推导出值函数和最优控制的闭式解。
• 对存在逆向选择导致执行风险增加的暗池中的最优平仓进行建模。
• 尽管值函数在终端时刻存在奇点，仍建立验证定理。
• 将最优控制表征为状态依赖策略，其延续区域与停止区域由时变边界分隔。

提出的方法

• 为值函数提出状态依赖的多项式假设：$ v(T,x) = C_1(T,x)x^2 + C_2(T,x)x + C_3(T,x) $，其中系数依赖于时间和状态。
• 将哈密顿-雅可比-贝尔曼偏微分方程降为关于 $ C_1, C_2, C_3 $ 的耦合常微分方程组，可闭式求解。
• 定义一个时变边界 $ \beta(t) $，将延续区域（$ |x| > \beta(t) $）与停止区域（$ |x| \leq \beta(t) $）分隔，前者中跳跃控制 $ \eta^* \neq 0 $，后者中 $ \eta^* = 0 $。
• 对中间状态 $ \beta(t) < |x| < \tilde{\beta}(t) $ 使用隐式插值函数，其为显式已知的单射函数的反函数。
• 在边界 $ \beta(t) $ 处建立光滑匹配条件，确保 $ C_1 $、$ C_2 $ 和 $ C_3 $ 在边界处连续可微。
• 通过验证定理验证候选解，该定理利用值函数和控制的闭式结构，处理了终端时刻的奇点问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管绝对值项引入了非光滑性，是否仍可对同时包含二次和绝对值成本项的非线性随机控制问题求得闭式解？
• RQ2 具有控制跳跃大小的泊松跳跃过程如何影响最优控制策略的结构？
• RQ3 终端约束 $ \lim_{t\to T^-} X^u(t) = 0 $ 在塑造值函数和控制策略方面起到什么作用？
• RQ4 当值函数在终端时刻并非二次连续可微时，如何构建验证定理？
• RQ5 在存在逆向选择的暗池中，最优平仓策略的几何与动态结构是怎样的？

主要发现

• 值函数为分段多项式：在小状态和大状态区域为二次函数，中间状态通过单射函数的反函数隐式插值定义。
• 最优控制策略具有时变边界 $ \beta(t) $，在延续区域中 $ \eta^* \neq 0 $，在停止区域中 $ \eta^* = 0 $。
• 最优交易强度 $ \xi^* $ 在边界 $ |x| = \frac{\Gamma}{2\lambda}(T-t) $ 处连续但不可微，表明策略存在拐点。
• 在无暗池的中性风险平仓中，最优策略为常数；引入暗池执行后，平仓速率减慢，形成不穿越边界的凹形轨迹。
• 随着 $ \alpha $ 增大，边界 $ \beta(t) $ 减小，反映出对受控过程的惩罚增强，导致更保守的平仓策略。
• 验证定理成立，原因在于值函数和控制的闭式结构，成功解决了因值函数非光滑性引发的终端奇点问题。