[论文解读] An Explicit Upper Bound of Generalized Quadratic Gauss Sums and Its Applications for Asymptotically Optimal Aperiodic Polyphase Sequence Design

Huaning Liu, Zilong Liu|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2026

Quasicrystal Structures and Properties被引用 0

一句话总结

论文利用 Paris 的渐近展开与斐波那契 zeta 收敛性提出广义二次高斯和的显式上界，然后利用该界构造四个基于 Chu 和 Alltop 序列的阶近似最优的非周期多相位序列集。

ABSTRACT

This work is motivated by the long-standing open problem of designing asymptotically order-optimal aperiodic polyphase sequence sets with respect to the celebrated Welch bound. Attempts were made by Mow over 30 years ago, but a comprehensive understanding to this problem is lacking. Our first key contribution is an explicit upper bound of generalized quadratic Gauss sums which is obtained by recursively applying Paris' asymptotic expansion and then bounding it by leveraging the fast convergence property of the Fibonacci zeta function. Building upon this major finding, our second key contribution includes four systematic constructions of order-optimal sequence sets with low aperiodic correlation and/or ambiguity properties via carefully selected Chu sequences and Alltop sequences. For the first time in the literature, we reveal that the full Alltop sequence set is asymptotically optimal for its low aperiodic correlation sidelobes. Besides, we introduce a novel subset of Alltop sequences possessing both order-optimal aperiodic correlation and ambiguity properties for the entire time-shift window.

研究动机与目标

• 激励关于设计渐近阶近似最优的非周期多相位序列集以满足 Welch 界的长期存在性问题。
• 推导广义二次高斯和的显式上界，以实现对非周期序列的紧致性能保证。
• 开发系统化的阶近似最优序列集合构造，具备低非周期相关性和/或模糊度特性。
• 证明 Alltop 序列（全集）在低非周期旁瓣方面是渐近最优的，并提供同时在相关性和模糊度方面达到阶近似最优性的子集。

提出的方法

• 对 S_N(x, theta) 递归应用 Paris 的渐近展开，并界定得到的误差项的界限。
• 为互补误差函数 E(x, theta) 引入场景特异的误差控制，以获得显式界限。
• 利用 Fibonacci zeta 函数收敛性来界定误差项的累积并推导数值界 |S_N(a/q, theta)| < 20.07 sqrt(q) + 3。
• 使用 Chu 和 Alltop 序列构造四个序列族：两种 Chu 基于族（C1、C2）和两种 Alltop 基于族（A1、A2）。
• 证明 C1 是阶近似最优的低相关集合（delta_max ≤ max{21 sqrt(L), 0.35 sqrt(KL)}）。
• 证明 C2 提供具有非周期 LAZ 性质的阶近似最优集合并给出 theta_max 的界限；并展示 A1 在低非周期旁瓣方面渐近最优，A2 在相关性和模糊度上实现同时渐近最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以获得一个显式、可计算的广义二次高斯和的上界来指导序列设计？
• RQ2 显式界限是否能够使基于 Chu 和 Alltop 序列的构造达到渐近阶近似最优的非周期多相位序列集？
• RQ3 所提出的 Chu- 和 Alltop- 基序列族在相关性和模糊度性能方面的渐近性保证是什么？

主要发现

• 已证明一个显式上界：|S_N(a/q, theta)| < 20.07 sqrt(q) + 3，对 q ≥ 2，N ≤ q，gcd(a,q)=1。
• 两种 Chu 基构造（C1、C2）和两种 Alltop 基构造（A1、A2）给出四个阶近似最优的序列族，且非周期相关性/模糊度受控。
• C1 提供低非周期相关性，delta_max(C1) ≤ max{21 sqrt(L), 0.35 sqrt(KL)}，并将 Mow 的 Chu 对作为特例（K=2）。
• C2 在指定参数下提供非周期 LAZ 保证，theta_max(C2) ≤ (1.35 + 2.035/√m) sqrt(L) + 5。
• 基于 Alltop 的 A1 集在其低非周期旁瓣方面被证明是渐近最优的，其子集 A2 在整个时移窗口内在相关性和模糊度上实现同时渐近最优。