[论文解读] An exponentially convergent discretization for space-time fractional parabolic equations using $hp$-FEM

Jens Markus Melenk, Alexander Rieder|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2022

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出一种结合 sinc-积分的 $hp$-有限元方法（hp-FEM），用于求解具有 Caputo 时间导数和谱分数阶拉普拉斯算子的空间-时间分数阶抛物方程。该方法通过利用 Riesz-Dunford 函数演算和在角点附近的几何型网格加密，在存在由数据不相容引起的启动奇异性时，仍能在空间和时间方向实现指数收敛。

ABSTRACT

We consider a space-time fractional parabolic problem. Combining a sinc-quadrature based method for discretizing the Riesz-Dunford integral with $hp$-FEM in space yields an exponentially convergent scheme for the initial boundary value problem with homogeneous right-hand side. For the inhomogeneous problem, an $hp$-quadrature scheme is implemented. We rigorously prove exponential convergence with focus on small times $t$, proving robustness with respect to startup singularities due to data incompatibilities.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有 Caputo 时间导数和分数阶拉普拉斯算子的空间-时间分数阶抛物问题的鲁棒、高阶数值格式。
• 解决分数阶扩散问题中由于初始数据与边界条件不相容而引起的启动奇异性问题。
• 即使初始数据不光滑，也通过 $hp$-FEM 和 sinc-积分在空间和时间方向实现指数收敛速率。
• 通过函数演算和积分技术，将 $hp$-FEM 的适用范围扩展至超越经典抛物情形的时间依赖分数阶问题。
• 在关于初始条件的抽象假设下，证明在较弱的空间-时间能量范数下的鲁棒收敛性，克服小时间处的时间范数退化问题。

提出的方法

• 利用 Riesz-Dunford 函数演算，通过轮廓积分表示分数阶幂算子 $\mathcal{L}^\beta$。
• 应用 sinc-积分对轮廓积分进行离散化，参数经过优化以实现指数收敛。
• 在空间方向采用 $hp$-有限元方法，并使用在区域角点处趋于密集的几何型网格，以解析奇异性。
• 为非齐次问题实现 $hp$-积分方案，确保时间方向的指数收敛。
• 通过重排计算过程，通过重用移位问题 $(z_j - \mathcal{L})^{-1}$ 的解，最小化线性系统求解次数。
• 使用 NGSolve 软件包进行有限元组装和具有 $hp$-加密的几何型网格生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合 sinc-积分的 $hp$-FEM 方法能否在具有 Caputo 导数的时间依赖空间-时间分数阶抛物问题中实现指数收敛？
• RQ2 该方法如何处理由初始条件与边界数据不相容引起的启动奇异性？
• RQ3 在小时间 $t>0$ 处的时间范数退化对收敛估计有何影响，如何缓解？
• RQ4 在对初始数据假设最小的条件下，该方法能否在较弱的空间-时间能量范数下保持指数收敛？
• RQ5 积分参数 $k$ 和 $\mathcal{N}_{\textrm{q}}$ 的选择如何影响收敛速率和鲁棒性？

主要发现

• 对于光滑解，数值实验验证了在 $L^2(\Omega)$-范数下，相对于自由度数 $\mathcal{N}_\Omega$ 实现了指数收敛。
• 对于不相容数据，仍观察到相对于 $\mathcal{N}_\Omega^{1/4}$ 的指数收敛，表明对奇异性具有鲁棒性。
• sinc-积分误差估计从 $t^{-\gamma}$ 改进为 $t^{-\gamma/2}$，增强了小时间处的稳定性。
• 由于高效的重排，该方法仅需 $\mathcal{N}_{\textrm{q}}$ 次线性系统求解，计算效率高。
• 数值结果证实，即使精确解未知，对相容与不相容数据均实现了指数收敛。
• 在不同终点时间 $t=0.001$、$t=0.1$ 和 $t=1$ 下，收敛速率保持鲁棒，不相容情况下误差以 $\mathcal{O}(e^{-0.7\mathcal{N}_\Omega^{1/4}})$ 的形式衰减。