[论文解读] An exposition to the finiteness of fibers in matrix completion via Plücker coordinates

Manolis C. Tsakiris|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文研究了一个基本问题：对于具有最小观测模式大小 $ r(m+n-r) $ 的通用低秩矩阵，其秩-$ r $ 完成解是否仅有有限多个。通过利用普吕克坐标将矩阵补全问题与格拉斯曼流形联系起来，作者刻画了一类广泛的最小观测模式，证明在这些模式下完成解通常是有限的，从而提出了一套几何框架，推广了先前的结果，并为矩阵补全领域中既有的实践提供了理论依据。

ABSTRACT

Low-rank matrix completion is a popular paradigm in machine learning, but little is known about the completion properties of non-random observation patterns. A fundamental open question in this direction is the following: given an observation pattern of a sufficiently generic (e.g. incoherent) $m imes n$ real matrix $X$ of rank $r$ with exactly $r(m+n-r)$ entries being observed, this number being the dimension of the space of real rank-$r$ $m imes n$ matrices, are there finitely many rank-$r$ completions? This is a challenging problem whose answer is known only for ranks $1$, $2$ and $\min\{m,n\}-1$. In this paper we study this problem by bringing tools from algebraic geometry. In particular, we exploit the fact that both the space of real rank-$r$ $m imes n$ matrices as well as the set of $r$-dimensional subspaces of $\mathbb{R}^m$, known as the Grassmannian, are algebraic varieties. Our approach is based on a novel formulation of matrix completion in terms of Pl{u}cker coordinates, the latter a traditionally powerful tool in computer vision and graphics and a classical notion in algebraic geometry. This formulation allows us to characterize a large class of minimal (i.e. of size $r(m+n-r)$) observation patterns for which a generic matrix admits finitely many rank-r completions. We conjecture that the converse is also true: any minimal pattern which is generically finitely completable must be of that type. As a consequence, we generalize results that have previously appeared and are being used in the literature, but lack a sufficient theoretical justification. We believe the Pl{u}cker-coordinate based link that we establish between low-rank matrices and the Grassmannian in the context of matrix completion to be of wider significance for matrix and subspace learning problems with incomplete data.

研究动机与目标

• 确定在何种最小观测模式下，通用秩-$ r $ 矩阵具有有限多个秩-$ r $ 完成解。
• 通过使用普吕克坐标对低秩矩阵空间和格拉斯曼流形进行建模，将矩阵补全与代数几何联系起来。
• 推广现有在矩阵补全领域中缺乏严格理论基础的经验性结果。
• 提出猜想：仅具有特定几何类型的观测模式才能实现有限完成，从而完整刻画此类模式的全部类别。

提出的方法

• 作者将实数域上秩-$ r $ 的 $ m \times n $ 矩阵空间建模为代数簇，并将其与 $ \mathbb{R}^m $ 中 $ r $-维子空间的格拉斯曼流形相关联。
• 他们将矩阵补全问题重新表述为使用普吕克坐标的形式，这些坐标用于参数化线性子空间，在代数几何和计算机视觉中具有经典应用。
• 通过普吕克嵌入，他们将补全问题转化为格拉斯曼流形上的多项式方程组。
• 他们分析了从格拉斯曼流形到观测条目的评估映射的纤维大小，表明完成解的有限性取决于观测模式的代数结构。
• 他们识别出一类观测模式——即对应于格拉斯曼流形上一般点的模式——其完成解数量为有限。
• 他们提出猜想：仅此类模式能产生有限完成解，暗示对最小有限可补全模式的完整刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于大小为 $ r(m+n-r) $ 的哪些最小观测模式，通用秩-$ r $ 矩阵具有有限多个秩-$ r $ 完成解？
• RQ2 如何利用格拉斯曼流形和普吕克坐标来刻画矩阵补全问题的解空间？
• RQ3 何种几何条件可确保观测模式具有有限可补全性？该条件是否既必要又充分？
• RQ4 现有经验性矩阵补全结果能否通过此代数几何框架得到严格理论解释？
• RQ5 是否可通过基于普吕克坐标的公式完全刻画产生有限完成解的最小观测模式类别？

主要发现

• 本文识别出一大类最小观测模式，对于这些模式，通用低秩矩阵补全问题仅有有限多个解，并利用普吕克坐标对这些模式进行了刻画。
• 该研究建立了一种新颖的代数几何联系，通过普吕克嵌入将低秩矩阵空间与格拉斯曼流形关联起来，从而能够更深入分析补全性质。
• 作者证明，对于此类模式，秩-$ r $ 完成解的数量是有限的，推广了对秩 1、2 和 $ \min\{m,n\}-1 $ 情况下的已知结果。
• 他们提出猜想：仅此类模式能实现有限完成，暗示对最小有限可补全模式的完整刻画。
• 该框架为机器学习和计算机视觉中广泛应用但此前缺乏解释的矩阵补全启发式方法提供了理论依据。