[论文解读] An Extended Discontinuous Galerkin Method for High-Order Shock-Fitting

Markus Geisenhofer, Florian Kummer+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 48被引用 7

一句话总结

本论文提出一种高阶扩展间断伽辽金（XDG）方法，用于可压缩流中亚单元精度的激波捕捉，采用基于水平集的激波界面和带有局部指标的隐式伪时间推进法，迭代校正激波位置。在1D静态正激波测试案例中，该方法实现了对真实激波位置的精确收敛，且P⁰-投影指标始终提供正确的校正方向。

ABSTRACT

We present a sub-cell accurate shock-fitting technique using a high-order extended discontinuous Galerkin (XDG) method, where a computational cell of the background grid is cut into two cut-cells at the shock position. Our technique makes use of a sharp interface description where the shock front is implicitly defined by means of the zero iso-contour of a level-set function. A novel implicit pseudo-time-stepping procedure is employed to correct the position of the shock front inside the cut background cell by using cell-local indicators, since the position and shape of shock waves are not known a priori for the general, multi-dimensional case. This iterative correction terminates if the shock front has converged to the exact position. The procedure is demonstrated for the test case of a one-dimensional stationary normal shock wave. Furthermore, the underlying sharp interface approach drastically reduces the complexity of the grid handling, since a simple Cartesian background grid can be employed.

研究动机与目标

• 开发一种基于扩展间断伽辽金（XDG）离散化的高阶、亚单元精度激波捕捉方法，用于可压缩流。
• 通过引入迭代校正过程，解决多维流中激波位置和形状未知的挑战。
• 通过避免人工粘性并保持高阶收敛性，提升传统激波捕捉方法的精度与稳定性。
• 通过水平集函数实现清晰的界面表示，实现简单笛卡尔背景网格的应用。
• 通过单元聚合和局部指标实现界面校正，证明在复杂几何中实现高阶激波捕捉的可行性。

提出的方法

• 激波前缘在笛卡尔背景网格的切割单元内，通过水平集函数的零等值线隐式定义。
• 采用隐式伪时间推进法，利用标准隐式欧拉格式，在切割单元中迭代校正激波位置。
• 使用局部指标（基于密度场的P⁰投影、法向激波关系及基于动量的重构）确定每个伪时间步中激波移动的正确方向。
• 应用二分法根据指标函数的符号更新激波界面位置。
• 通过单元聚合改善小尺寸或畸变切割单元中系统矩阵的条件性。
• 在1D静态正激波问题上进行了验证，结果显示激波位置收敛至精确值xs = 0.55。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏激波位置和形状先验知识的情况下，高阶XDG方法能否实现亚单元精度的激波捕捉？
• RQ2 在迭代细化过程中，哪种局部指标能提供最可靠的激波界面校正方向？
• RQ3 隐式伪时间推进法如何确保在切割单元中收敛至精确的激波位置？
• RQ4 网格畸变和小尺寸切割单元对XDG方法中激波捕捉的稳定性与精度有何影响？
• RQ5 该方法能否扩展至真正二维和非定常激波问题，适用于移动激波前缘？

主要发现

• 在1D测试案例的所有伪时间步中，P⁰-投影指标（IP⁰(ρ)）始终提供正确的激波移动方向。
• 激波界面在四个伪时间步后收敛至精确位置xs = 0.55，证实了迭代校正过程的有效性。
• 基于法向激波关系的指标（Iρ(⃗U) 和 Im(⃗U)）在t₀和t₂时刻未能提供正确方向，凸显了在迭代过程中依赖精确跃迁关系的局限性。
• 二分法在每一步成功更新了激波界面位置，确保了鲁棒的收敛性。
• 单元聚合有效缓解了小尺寸和畸变切割单元中的条件性问题。
• 该方法表明，采用清晰界面方法实现高阶激波捕捉是可行的，避免了人工粘性并保持了高阶精度。