[论文解读] An extended existence result for quadratic BSDEs with jumps with application to the utility maximization problem

Marie Amélie Morlais|ArXiv.org|Sep 2, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在一般 Lévy 测度（无限活动）下建立了二次倒向随机微分方程（BSDE）的新存在性结果，扩展了以往要求有限 Lévy 测度的研究。该方法基于动态规划原理，并借助辅助 BSDE，解决了在带跳跃的扩散模型中、具有不连续过滤的条件下，投资组合约束下的指数效用最大化问题。

ABSTRACT

In this study, we consider the exponential utility maximization problem in the context of a jump-diffusion model. To solve the problem, we rely on the dynamic programming principle and we derive from it a quadratic BSDE with jumps. Since this quadratic BSDE is driven both by a Wiener process and by a Poisson random measure having a Levy measure with infinite mass, our main task consists in establishing a new existence result for the specific BSDE introduced.

研究动机与目标

• 将带跳二次 BSDE 的存在性理论扩展至超越有限 Lévy 测度假设的情形。
• 在不连续过滤条件下，求解具有投资组合约束的指数效用最大化问题。
• 通过特定的带跳二次 BSDE，刻画价值过程与最优策略。
• 建立任意有界终端条件下的辅助 BSDE 解与原始 BSDE 解之间的一一对应关系。
• 对价值函数与最优投资策略提供显式的动态表征。

提出的方法

• 从效用最大化问题的动态规划原理出发，推导出一个带跳的二次 BSDE。
• 引入一个具有修正生成元的辅助 BSDE，以处理有界终端条件下的存在性问题。
• 在终端条件的范数约束下，利用不动点论证证明辅助 BSDE 的解的存在性。
• 通过针对任意有界终端变量的显式逼近方案，构造原始 BSDE 的解。
• 建立辅助 BSDE 与原始 BSDE 解之间的一一对应关系。
• 利用原始 BSDE 的解，通过局部鞅最优性原理刻画价值过程与最优策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Lévy 测度具有无限质量时，能否建立带跳二次 BSDE 解的存在性？
• RQ2 如何在不连续过滤条件下，将动态规划原理应用于具有投资组合约束的效用最大化问题？
• RQ3 辅助 BSDE 的解与原始带跳二次 BSDE 的解之间存在何种关系？
• RQ4 如何通过 BSDE 解显式刻画价值过程与最优策略？
• RQ5 在带跳扩散模型中，指数效用下何种条件可确保最优投资策略的存在？

主要发现

• 在 Lévy 测度为无限的情况下，建立了带跳二次 BSDE 的新存在性结果，扩展了以往要求有限 Lévy 测度的研究成果。
• 原始 BSDE 的解对任意有界终端条件均存在，通过借助辅助 BSDE 的显式构造实现。
• 效用最大化问题的价值过程被表征为原始带跳二次 BSDE 的解。
• 存在一个最优且可容许的策略，其通过一个涉及 BSDE 的 Z 和 U 分量的二次表达式的逐点最小化来刻画。
• 最优策略满足 π* ∈ argminπ∈C(½α|πσ − (Z + θ/α)|² + |U − πβ|α) P-对所有 t 几乎必然成立。
• 价值函数显式给出为 V(x) = −exp(−α(x − Y₀))，其中 Y₀ 是 BSDE 解的初始值。