[论文解读] An extension of a theorem of Kesten to topological Markov chains

Manuel Stadlbauer|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文将Kesten关于群可约性与谱半径的定理推广至拓扑马尔可夫链的群扩张情形。在适度的连续性与对称性假设下，证明了群的可约性蕴含扩张系统与基系统的Gurevich压强相等；而在Hölder连续性与大像/原像条件成立时，其逆命题也成立，该结果应用于周期性双曲流形。

ABSTRACT

The main results of this note extend a theorem of Kesten for symmetric random walks on discrete groups to group extensions of topological Markov chains. In contrast to the result in probability theory, there is a notable asymmetry in the assumptions on the base. That is, it turns out that, under very mild assumptions on the continuity and symmetry of the associated potential, amenability of the group im- plies that the Gureviy of the extension and the base coincide whereas the converse holds true if the potential is Holder continuous and the topological Markov chain has big images and preimages. Finally, an application to periodic hyperbolic manifolds is given. MSC 2000. 37A50, 37C30, 20F69 1 Introduction and statement of main results The motivation for the analysis of the change of pressure under group extensions stems from the attempt to relate two classical results from probability theory and geometry on the amenability of discrete groups. The probabilistic result was obtained by Kesten in (11) and characterises amenability in terms of the spectral radius of the Markov operator associated to a symmetric random walk, that is a group G is amenable if and only if the spectral radius of the operator acting on l 2 (G) is equal to 1. The following counterpart in geometry was discovered by Brooks ((3)) using a completely different method. Assume that G is a Kleinian group acting on hyperbolic space H n+1 with exponent of convergence δ(G) bigger than n/2 and that N ⊳G is a normal subgroup. Then the bottoms of the spectra of the Laplacians on H/G and H/N are equal if and only if G/N is amenable. Or

研究动机与目标

• 将Kesten对离散群上对称随机游动的群可约性谱半径刻画，推广至拓扑马尔可夫链的群扩张情形。
• 研究群可约性与扩展系统Gurevich压强之间的关系。
• 确定扩展系统与基系统Gurevich压强相等的条件。
• 建立结果正向与逆向方向之间假设的不对称性。
• 将结果应用于几何背景，特别是周期性双曲流形。

提出的方法

• 利用具有群扩张的拓扑马尔可夫链理论，对具有群值转移的动态系统进行建模。
• 应用势理论与压强函数，特别是Gurevich压强，分析系统的谱性质。
• 对势函数施加连续性与对称性条件，以确保压强函数的正则性。
• 通过势函数的Hölder连续性与拓扑马尔可夫链的大像/原像性质，建立结果的逆向部分。
• 依赖几何群论与拉普拉斯算子谱理论的结果，与Brooks定理建立联系。
• 利用群扩张框架，将基系统的动力学与扩展系统的压强及谱性质关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，群的可约性能推出基系统与扩展系统的Gurevich压强相等？
• RQ2 为确保逆命题成立——即相等的压强蕴含群可约性——还需哪些额外假设？
• RQ3 两个方向之间假设的不对称性如何影响结果的应用范围？
• RQ4 该动力系统结果在哪些几何背景下可被应用，特别是双曲空间中？
• RQ5 Hölder连续性与大像/原像性质在逆向方向中如何影响压强比较？

主要发现

• 在势函数具有温和连续性与对称性假设下，群的可约性蕴含扩展系统与基系统的Gurevich压强相等。
• 逆命题——即相等的Gurevich压强蕴含群可约性——在势函数为Hölder连续且拓扑马尔可夫链具有大像与原像性质时成立。
• 该结果在两个方向的假设之间表现出显著的不对称性，与经典概率结果形成区别。
• 该框架成功地将Kesten的谱半径定理推广至拓扑马尔可夫链的群扩张情形。
• 提供了在周期性双曲流形上的应用，将动力系统的压强结果与几何群论联系起来。
• 通过压强与谱分析，建立了与Brooks定理（关于拉普拉斯算子谱底的定理）的联系。