[论文解读] An Extension of Barbashin-Krasovski-LaSalle Theorem to a Class of Nonautonomous Systems

Radu Bălan|ArXiv.org|Jun 22, 2005

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 4被引用 11

一句话总结

本文将巴尔巴欣-克拉索夫斯基-拉萨勒不变性原理推广至一类非自治系统，其中向量场在李雅普诺夫函数导数的零集上为时不变。通过要求该集合上受限动力学为时不变且渐近稳定，全系统实现一致渐近稳定。关键贡献在于对线性可检测性结果的非线性推广，以及通过哈密顿-雅可比方程获得仿射控制系统鲁棒可 stabilizability 的充分条件。

ABSTRACT

In this paper we give an extension of the Barbashin-Krasovski-LaSalle Theorem to a class of time-varying dynamical systems, namely the class of systems for which the restricted vector field to the zero-set of the time derivative of the Liapunov function is time invariant and this set includes some trajectories. Our goal is to improve the sufficient conditions for the case of uniform asymptotic stability of the equilibrium. We obtain an extension of an well-known linear result to the case of zero-state detectability (given (C,A) a detectable pair, if there exists a positive semidefinite matrix P>=0 such that: A^TP+PA+C^TC=0 then A is Hurwitz - i.e. it has all eigenvalues with negative real part) as well as a result about robust stabilizability of nonlinear affine control systems.

研究动机与目标

• 将巴尔巴欣-克拉索夫斯基-拉萨勒不变性原理推广至向量场在李雅普诺夫函数导数零集上为时不变的时变系统。
• 在弱于经典拉萨勒定理假设的条件下，建立非自治系统平衡点一致渐近稳定性的充分条件。
• 通过强零状态可检测性，将线性可检测性结果（若 (C,A) 可检测且方程 AᵀP + PA + CᵀC = 0 存在 P ≥ 0 的解，则 A 为赫尔维茨）推广至非线性系统。
• 利用哈密顿-雅可比不等式，为仿射非线性控制系统在时不变与时变扰动下提供鲁棒可 stabilizability 的充分条件。

提出的方法

• 引入一个 C¹ 李雅普诺夫函数 V，使其沿轨迹的导数 W(x) ≤ 0。
• 定义零集 E = {x ∈ D | W(x) = 0}，并假设 f(t,x) 在 E 上为时不变。
• 将动力学限制在 E 的最大正不变集 N ⊂ E 上，并分析其稳定性。
• 应用定理 1：若 N 上受限动力学渐近稳定，则全系统一致渐近稳定。
• 利用哈密顿-雅可比方程 ∇V·f + ∇V·g(φ(h) + p(h,t)) ≤ 0 推导鲁棒可 stabilizability 条件。
• 定义两类扰动 P₁（时不变）与 P₂（时变），并证明在两种情况下均有 W(x) ≤ 0 成立，从而通过定理 1 实现稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，经典拉萨勒不变性原理可推广至具有时变向量场的非自治系统？
• RQ2 当向量场仅在李雅普诺夫导数零集上为时不变时，如何确定全系统的稳定性？
• RQ3 能否通过李雅普诺夫方法将线性可检测性结果推广至非线性系统？
• RQ4 在扇形有界扰动下，仿射非线性控制系统的鲁棒可 stabilizability 的条件是什么？
• RQ5 强零状态可检测性与哈密顿-雅可比不等式存在半正定解之间有何关系？

主要发现

• 若限制在最大正不变集 N ⊂ E 上的动力学渐近稳定，则全系统一致渐近稳定。
• 建立了线性可检测性结果的非线性推广：若 (h,f) 为强零状态可检测，且方程 AᵀP + PA + CᵀC = 0 存在 P ≥ 0 的解，则 A 为赫尔维茨。
• 对于平面系统 ẋ₁ = -x₁³ + u，ẋ₂ = -x₂³，y = x₂³，反馈 φ(y) = y 对任意 a > 0 均能鲁棒稳定系统，且 V(x₁,x₂) = (a²/4)x₂⁴ 为有效的李雅普诺夫函数。
• 鲁棒可 stabilizability 条件对 P₁ ∪ P₂ 中的扰动成立，此时 V 的时间导数满足 W(x) ≤ 0，其中 W(x) = -(2aε - ε²)(φ(h(x)))²（对应 P₂），W(x) = (p(h(x)))² - a²(φ(h(x)))²（对应 P₁）。
• 哈密顿-雅可比方程存在半正定解，可确保在时不变与时变扰动下系统具有鲁棒可 stabilizability。
• 结果表明，满足 |φ(y)| ≤ a|y| 的反馈可对任意大的 a > 0 实现系统的鲁棒稳定，如示例 3 所示。