[论文解读] An extension of Massey scheme for secret sharing

Romar dela Cruz, Annika Meyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2010

Cryptography and Data Security参考文献 14被引用 16

一句话总结

本文通过引入共享多个秘密（l > 1）的广义构造，扩展了Massey的基于线性码的门限秘密共享方案，利用对偶码和g重联合重量枚举函数刻画访问结构。关键贡献在于通过满足特定支集和重量条件的对偶码中的码字，对最小访问组进行表征，从而借助不变量理论和Molien级数分析自偶码的访问结构。

ABSTRACT

We consider an extension of Massey's construction of secret sharing schemes using linear codes. We describe the access structure of the scheme and show its connection to the dual code. We use the $g$-fold weight enumerator and invariant theory to study the access structure.

研究动机与目标

• 将原始仅支持单个秘密的Massey秘密共享方案扩展为可共享多个秘密（l > 1）的广义方案。
• 利用对偶码性质与广义汉明权重，刻画扩展方案的访问结构。
• 应用不变量理论与g重联合重量枚举函数，分析自偶码的访问结构，特别是此类情况。
• 提供最小访问组大小的界限，并利用代数不变量计算给定大小的访问组数量。
• 将先前关于完美方案的结果扩展至非完美方案，实现更小的份额大小，提升信息速率效率。

提出的方法

• 该方案使用域F_q上的[l+n, k, d]线性码，其生成矩阵G被划分为l个秘密列和n个份额列。
• 秘密向量s ∈ F_q^l通过选择满足uG_i = s_i（1 ≤ i ≤ l）的向量u进行编码，份额分配为c_{l+i} = uG_{l+i}。
• 访问结构由以下条件决定：参与者集合B可恢复秘密当且仅当前l列的张成空间包含于B中份额的张成空间中。
• 本文引入广义条件：存在对偶码C⊥中的码字v_j，满足：(i) v_j的前l个坐标等于第j个标准基向量e_j，(ii) v_j的支集包含于{j} ∪ B中。
• 对于自偶码，通过4重联合重量枚举函数J_{1_{T1},1_{T2},C,C}(x_a)应用不变量理论，该函数在二元码的G1（类型I）和G2（类型II）群作用下保持不变。
• 计算空间V1中总次数为r的不变量的Molien级数F_G(r)，其中V2和V3的次数分别为1,1，从而通过生成函数实现对访问组的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持结构特性的前提下，将Massey的秘密共享方案推广至支持多个秘密（l > 1）？
• RQ2 如何利用对偶码与码字支集条件，精确刻画扩展方案中最小访问组的结构？
• RQ3 广义汉明权重d_l^⊥与最小对偶距离d^⊥如何与访问组大小的下界相关联？
• RQ4 能否利用不变量理论与联合重量枚举函数对自偶码的访问组进行计数，并描述其访问结构？
• RQ5 与完美方案相比，该扩展方案的信息速率与份额大小效率如何？

主要发现

• 对于任意组B，参与者可恢复秘密当且仅当存在v_j ∈ C⊥，使得v_j的前l个坐标等于e_j，且supp(v_j) ⊆ {j} ∪ B。
• 最小访问组大小至少为3/2(d^⊥ - l)，其中d^⊥为对偶码的最小重量，提供可计算的下界。
• 对于d^⊥ = 8且l = 2的特定码，大小为12的访问组数量恰好为36,960，该结果通过联合重量枚举函数与推论6计算得出。
• 自偶码的4重联合重量枚举函数在G1（类型I）或G2（类型II）作用下保持不变，从而可借助Molien级数实现计数。
• 通过MAGMA显式计算了V1中总次数为r、V2与V3中次数为1的不变量的生成函数F_G(r)，适用于类型I与类型II码。
• 该方案在l ≥ 2时为非完美方案，允许份额大小小于秘密大小，信息速率为l，相比完美方案更具效率。