[论文解读] An Extension of Proof Graphs for Disjunctive Parameterised Boolean Equation Systems

Yutaro Nagae, Masahiko Sakai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 11被引用 2

一句话总结

本文提出简化证明图作为解决无数据量词和析取参数布尔方程系统（PBESs）中不可判定成员问题的有限表示技术。通过将一组顶点抽象为单个节点，该方法将无限证明图转换为有限的简化依赖空间，从而实现成员问题的可靠且完备的决策过程。其主要贡献在于提出一种构造有限简化依赖空间的算法，确保该子类PBESs的正确性与完备性。

ABSTRACT

A parameterised Boolean equation system (PBES) is a set of equations that defines sets as the least and/or greatest fixed-points that satisfy the equations. This system is regarded as a declarative program defining functions that take a datum and returns a Boolean value. The membership problem of PBESs is a problem to decide whether a given element is in the defined set or not, which corresponds to an execution of the program. This paper introduces reduced proof graphs, and studies a technique to solve the membership problem of PBESs, which is undecidable in general, by transforming it into a reduced proof graph. A vertex X(v) in a proof graph represents that the data v is in the set X, if the graph satisfies conditions induced from a given PBES. Proof graphs are, however, infinite in general. Thus we introduce vertices each of which stands for a set of vertices of the original ones, which possibly results in a finite graph. For a subclass of disjunctive PBESs, we clarify some conditions which reduced proof graphs should satisfy. We also show some examples having no finite proof graph except for reduced one. We further propose a reduced dependency space, which contains reduced proof graphs as sub-graphs if a proof graph exists. We provide a procedure to construct finite reduced dependency spaces, and show the soundness and completeness of the procedure.

研究动机与目标

• 为通过聚焦于可判定子类来解决一般PBESs中成员问题的不可判定性。
• 开发一种证明图的有限表示技术，因为证明图通常具有无限结构。
• 定义简化证明图必须满足的条件，以正确表示无数据量词和析取PBESs的解。
• 引入一种简化依赖空间，当证明图存在时，其包含简化证明图为子图。
• 为无数据量词和析取PBESs提供一种可靠且完备的有限简化依赖空间构造过程。

提出的方法

• 引入简化证明图，其中顶点代表原始顶点的集合，从而实现有限表示。
• 定义无数据量词和析取PBESs中简化证明图必须满足的条件。
• 提出一种广义化证明图的简化依赖空间，当证明图存在时，其包含这些图作为子图。
• 设计一种通过基于逻辑条件的划分来分割状态空间，从而构造有限简化依赖空间的算法。
• 通过证明：当且仅当原始系统中存在解时，简化空间中也存在解，确保构造过程的可靠性和完备性。
• 使用逻辑划分（例如基于不等式和布尔条件）对数据值进行分组，以抽象状态空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将PBESs的无限证明图替换为保持成员问题正确性的有限表示？
• RQ2 简化证明图必须满足什么条件，才能正确表示无数据量词和析取PBESs的解？
• RQ3 是否存在一种简化依赖空间，能够包含所有可能的简化证明图并支持有限计算？
• RQ4 是否存在一种可靠且完备的算法，用于为该类PBESs构造有限简化依赖空间？
• RQ5 即使某些示例不存在有限证明图，是否仍可能存在有限的简化证明图？

主要发现

• 无数据量词和析取PBESs的证明图存在性，等价于简化证明图的存在性。
• 存在PBES实例，其无有限证明图但存在有限简化证明图，证明了抽象化方法的必要性与优势。
• 所提出的算法构造出的有限简化依赖空间，对成员问题而言是可靠且完备的。
• 简化依赖空间通过数据空间的逻辑划分构建，例如使用条件如 x ≥1∧y ≥1 或 x ≥2∧y ≥2。
• 在卡车运输问题示例中，该方法生成有限划分 ⟨{C1,C2},{A1,A2,A3},{B1}⟩ 及相应的有限简化依赖空间。
• 图2中的简化证明图正确刻画了具有成功调度路径的初始配置，表明该方法尽管原始图无限，仍能捕捉预期行为。