[论文解读] An extension of the Burau representation to a mapping class group associated to Thompson's group T

Christophe Kapoudjian, Vlad Sergiescu|ArXiv.org|Feb 25, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文通过非交换扩张 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$，将无限辫群的Burau表示推广至与汤普森群 $T$ 相关的映射类群 $A_T$。该扩张的阿贝尔化给出一个中心扩张，用于检测离散的Godbillon-Virasoro类 $\overline{gv}$，该类被实现为通过到Pressley-Segal扩张的同态拉回的约化Pressley-Segal类。

ABSTRACT

We study some aspects of the geometric representation theory of the Thompson and Neretin groups, suggested by their analogies with the diffeomorphism groups of the circle. We prove that the Burau representation of the Artin braid groups extends to a mapping class group $A_T$ related to Thompson's group $T$ by a short exact sequence $B_{\infty}\hookrightarrow A_T o T$, where $B_{\infty}$ is the infinite braid group. This {\it non-commutative} extension abelianises to a central extension $0 o \Z o A_T/[B_{\infty},B_{\infty}] o T o 1$ detecting the {\it discrete} version $\bar{gv}$ of the Bott-Virasoro-Godbillon-Vey class. A morphism from the above non-commutative extension to a reduced Pressley-Segal extension is then constructed, and the class $\bar{gv}$ is realised as a pull-back of the reduced Pressley-Segal class. A similar program is carried out for an extension of the Neretin group related to the {\it combinatorial} version of the Bott-Virasoro-Godbillon-Vey class.

研究动机与目标

• 构建汤普森群 $T$ 对无限辫群 $B_\infty$ 的非交换扩张，推广Burau表示。
• 证明该扩张的阿贝尔化产生一个检测离散Goddillon-Virasoro类 $\overline{gv}$ 的中心扩张。
• 建立从非交换扩张到约化Pressley-Segal扩张的同态，将 $\overline{gv}$ 实现为Pressley-Segal类的拉回。
• 将该程序推广至Neretin群 $N$，构造一个类似的非交换扩张，用于检测 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-值类 $\overline{GV}$。

提出的方法

• 将映射类群 $A_T$ 定义为扩张 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$，其中 $B_\infty$ 为无限辫群。
• 通过 $\mathrm{Aut}(F_\infty)^{\mathrm{ind}}$ 的Magnus表示，构造一个表示 $\rho^\mathbf{t}_\infty: A_T \to \mathrm{GL}(\ell^2(F_\infty))$，推广Burau表示。
• 通过证明矩阵元素是具有 $t$-单项式系数的对角算子的有限秩扰动，证明该表示的连续性。
• 利用 $A_T$ 对穿孔点和环路的作用，定义自由群 $F_\infty$ 上的共轭自同态，通过 $a \mapsto \mathcal{M}(a_*)$ 诱导表示。
• 建立从 $A_T$ 到约化Pressley-Segal扩张的同态，证明类 $\overline{gv}$ 作为Pressley-Segal类的拉回出现。
• 对Neretin群 $N$ 应用类似构造，得到一个核为 $\mathfrak{S}_\infty$ 的非交换扩张，其阿贝尔化检测到 $\overline{GV}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将辫群的Burau表示扩展到与汤普森群 $T$ 相关的映射类群？
• RQ2 非交换扩张 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$ 的阿贝尔化是否检测到离散的Goddillon-Virasoro类 $\overline{gv}$？
• RQ3 类 $\overline{gv}$ 是否可通过从 $A_T$ 到约化Pressley-Segal扩张的同态，实现为Pressley-Segal类的拉回？
• RQ4 能否为Neretin群 $N$ 构造一个类似的非交换扩张，用于检测 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-值类 $\overline{GV}$？
• RQ5 在扩张 $A_T$ 中，核 $B_\infty$ 的几何与代数结构是什么？

主要发现

• Burau表示通过 $\mathrm{Aut}(F_\infty)^{\mathrm{ind}}$ 的Magnus表示，扩展为连续表示 $\rho^\mathbf{t}_\infty: A_T \to \mathrm{GL}(\ell^2(F_\infty))$。
• 扩张 $1 \to B_\infty \to A_T \to T \to 1$ 的阿贝尔化产生一个中心扩张 $0 \to \mathbb{Z} \to A_T/[B_\infty, B_\infty] \to T \to 1$，用于检测离散的Goddillon-Virasoro类 $\overline{gv}$。
• 构造了从 $A_T$ 到约化Pressley-Segal扩张的同态，将 $\overline{gv}$ 实现为Pressley-Segal类的拉回。
• $\rho^\mathbf{t}_\infty(a)$ 是连续的，因为其矩阵元素是具有 $t$-单项式系数的对角算子的有限秩扰动。
• 对每个 $a \in A_T$，其在自由群 $F_\infty$ 上的作用诱导出一个自同态，满足对位于分量 $C_i$ 上的穿孔点有 $a_*(\gamma_q) = \lambda_i \gamma_{a(q)} \lambda_i^{-1}$，其中 $\lambda_i \in F_\infty$。
• 对Neretin群 $N$ 建立了类似结果，构造了一个非交换扩张，其核为 $\mathfrak{S}_\infty$，阿贝尔化检测到 $\overline{GV}$。