[论文解读] An extension of the functional Ito formula under a family of non-dominated measures

Harald Oberhauser|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文在非一致概率测度族下，将泛函 Itō 公式推广至连续半鞅的广义非路径连续泛函类。通过利用 Bichteler 的路径式随机积分与因果导数，建立了无需引入第二过程的路径式 Itō 型分解，从而实现了在模型不确定性下对复杂路径依赖型金融衍生品（如波动率互换与随机积分）的应用。

ABSTRACT

Motivated by questions arising in financial mathematics, Dupire introduced a notion of smoothness for functionals of paths (different from the usual Fréchet--Gatéaux derivatives) and arrived at a generalization of Itō's formula applicable to functionals which have a pathwise continuous dependence on the trajectories of the underlying process. We study nonlinear functionals which do not have such pathwise continuity and further work simultaneously under the family of continuous semimartingale measures on path-space. We do this without introducing a second component, as carried out by Cont--Fournie but by using old work of Bichteler which allows to keep a pathwise picture even for complex functionals

研究动机与目标

• 将泛函 Itō 公式在金融数学中推广至非路径连续泛函之外的范围。
• 在模型不确定性下处理复杂且非鲁棒的泛函，如二次变差与 Doléans–Dade 指数。
• 保持路径式解释，无需引入辅助过程，如 Cont–Fournie 的方法。
• 调和路径式微积分与仅在等价性意义下定义的概率构造之间的关系。
• 为在非一致测度下推导金融工程中的非线性 SPDE 提供统一框架。

提出的方法

• 利用 Bichteler 的路径式随机积分理论，无需依赖概率测度即可定义随机积分。
• 应用 Dupire 的因果导数——时间导数 ∂₀F、空间导数 ∇F 与拉普拉斯算子 ΔF——作为路径空间上的适应过程。
• 在具有坐标过程 X 的 càdlàg 路径的典范空间上工作，配备连续半鞅测度族 M_c^semi。
• 定义满足 C¹,² 的泛函 F，使得 Itō 型分解在每条路径上成立：Ft − F₀ = ∫(∂₀F + ½ΔF)dr + ∫∇F dX，对每个 P ∈ M_c^semi 成立。
• 通过 Bichteler–Kunita–Meyer 分解，建立 Itō 过程与路径式积分的不可区分性。
• 将该框架应用于在局部波动率模型下推导波动率互换及其他路径依赖型头寸的 SPDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入辅助过程的前提下，将泛函 Itō 公式推广至非路径连续泛函？
• RQ2 路径式随机微积分如何与仅在等价性意义下定义的概率构造相协调？
• RQ3 因果导数在模型不确定性下刻画复杂路径依赖泛函动态中的作用是什么？
• RQ4 在路径式、非一致测度设定下，Itō 公式能否应用于二次变差与随机指数过程？
• RQ5 ∂₀F + ½ΔF 的非唯一性与金融风险度量（如 Gamma–Theta 对冲）有何关联？

主要发现

• 在非一致连续半鞅测度族下，泛函 Itō 公式可推广至一大类 C¹,² 泛函，即使这些泛函非路径连续。
• 对所有 P ∈ M_c^semi，分解式 Ft − F₀ = ∫(∂₀F + ½ΔF)dr + ∫∇F dX 在路径上成立，即使 F 对路径的依赖非连续。
• 形式为 ∫σ_{r−}·dX_r 的随机积分，在每个 P ∈ M_c^semi 下，与通过 Bichteler 理论定义的路径式积分不可区分。
• 即使 F 非路径连续，因果导数 ∂₀F、∇F 与 ΔF 仍可唯一定义为适应过程。
• 对于波动率互换，该公式导出一个抛物型 SPDE：∂v/∂t + (σ²/2)∂²v/∂x² = −σ²，终端条件为 v(T, x) = 0，在局部波动率模型下成立。
• 该框架使在模型不确定性下推导复杂衍生品的非线性 SPDE 成为可能，适用于在非一致测度下的定价与对冲。