[论文解读] An extension of the Hermite-Biehler theorem with application to polynomials with one positive root

Richard Ellard, Helena Šmigoc|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过建立 $ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 的实根数量下界，将 Hermite-Biehler 定理推广至非 Hurwitz 稳定多项式，表明这些根的分布取决于 $ f $ 在复平面上的根在左半平面与右半平面之间的不平衡性。该扩展进一步应用于推导具有恰好一个正根的多项式的符号反向规则，证明其偶次与奇次系数序列各自至多仅有一个符号变化。

ABSTRACT

If a real polynomial $f(x)=p(x^2)+xq(x^2)$ is Hurwitz stable (every root if $f$ lies in the open left half-plane), then the Hermite-Biehler Theorem says that the polynomials $p(-x^2)$ and $q(-x^2)$ have interlacing real roots. We extend this result to general polynomials by giving a lower bound on the number of real roots of $p(-x^2)$ and $q(-x^2)$ and showing that these real roots interlace. This bound depends on the number of roots of $f$ which lie in the left half plane. Another classical result in the theory of polynomials is Descartes' Rule of Signs, which bounds the number of positive roots of a polynomial in terms of the number of sign changes in its coefficients. We use our extension of the Hermite-Biehler Theorem to give an inverse rule of signs for polynomials with one positive root.

研究动机与目标

• 通过将 $ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 的实根数量与 $ f $ 在复平面上的根分布相关联，将 Hermite-Biehler 定理推广至非 Hurwitz 稳定多项式。
• 建立当 $ f $ 在左半平面有 $ n_- $ 个根、在右半平面有 $ n_+ $ 个根时，$ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2 $ 的实根相互交错的条件，且该条件依赖于 $ |n_- - n_+| $。
• 为恰好有一个正根的实系数多项式提供符号反向规则，证明其偶次与奇次系数序列各自至多仅有一个符号变化。
• 将上述结果应用于实根隔离问题与非负逆特征值问题（NIEP），特别是刻画具有一个正根的多项式之系数符号模式。
• 刻画连续系数为零的条件，识别系数序列中关键的参数阈值。

提出的方法

• 将实系数多项式 $ f(x) = p(x^2) + xq(x^2) $ 分解为偶部与奇部，分析 $ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 的根。
• 利用辐角原理与 Rouché 定理，将 $ f $ 在左、右半平面的根数与 $ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 的实根数相关联。
• 通过符号变化与根位置分析，建立 $ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 的实根相互交错关系，推广经典 Hermite-Biehler 条件。
• 应用 [4] 中的不等式（与牛顿不等式相关）分析系数符号模式，尤其在所有非正根的实部非正的假设下。
• 利用因式分解 $ f(x) = (x - r)g(x) $，其中 $ r > 0 $，且对 $ j \geq 2 $ 有 $ \operatorname{Re}(x_j) \leq 0 $，推导系数 $ a_k $ 关于根的初等对称函数的递推关系。
• 证明若 $ a_k \leq 0 $，则 $ a_{k+2} < 0 $，除非 $ g(x) $ 具有特定形式（如倒数多项式或纯虚根），并利用系数不等式中的等式条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Hermite-Biehler 定理推广至非 Hurwitz 稳定多项式，特别是关于 $ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 的实根数量与交错性？
• RQ2 多项式 $ f $ 在开左半平面与开右半平面的根数与 $ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 的实根数之间存在何种关系？
• RQ3 能否为恰好有一个正根的多项式建立符号反向规则？这对其系数符号模式施加了何种约束？
• RQ4 在何种条件下，具有一个正根的多项式的连续系数会为零？这如何影响系数序列中的符号变化？
• RQ5 此类多项式的系数符号模式如何与非正根在复平面上的位置相关联，特别是与楔形区域 $ S_{\sqrt{3}} $ 的关系？

主要发现

• 对于实系数多项式 $ f(x) = p(x^2) + xq(x^2) $，若其在开左半平面有 $ n_- $ 个根、在开右半平面有 $ n_+ $ 个根，则 $ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 各自至少有 $ |n_- - n_+| $ 个实根。
• 即使 $ f $ 不是 Hurwitz 稳定的，$ p(-x^2) $ 和 $ q(-x^2) $ 的实根仍保持交错分布。
• 若实系数多项式恰好有一个正根，且其余所有根的实部 $ \leq 0 $，则其偶次与奇次系数序列各自至多仅有一个符号变化。
• 若 $ f(x) = (x - r)g(x) $，其中 $ r > 0 $，对所有 $ j \geq 2 $ 有 $ \operatorname{Re}(x_j) \leq 0 $，且 $ g $ 不是形如 $ \prod (x^2 + \beta_j^2) $ 的多项式，则 $ a_k \leq 0 $ 蕴含 $ a_{k+2} < 0 $，从而保证每个系数序列中至多一个符号变化。
• 系数序列 $ \mathcal{T}_e $ 与 $ \mathcal{T}_o $ 各自至多一个符号变化，除非 $ f $ 具有特殊形式（如具有纯虚根或零系数），此类情况可通过系数不等式中的等式条件加以刻画。
• 当 $ \beta = \sqrt{2m+1} $ 且 $ r = 1 + 1/m $ 时，多项式 $ f(x) = (x - r)((x+1)^2 + \beta^2)^m $ 恰好有一个符号变化；而当 $ r $ 超过某一临界值时，可能出现多个符号变化，表明系数行为中存在关键阈值。