[论文解读] An extension operator on bounded domains and applications

M. Glück, Mei‐Jun Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文在有界光滑区域上建立了带Riesz势的精确Hardy-Littlewood-Sobolev（HLS）不等式，证明当区域的延拓常数超过单位球时，极值函数存在。通过基于小孔环形区域中调和延拓的测试函数，表明此类区域满足极值存在性准则，并进一步在等周性质优于欧几里得球的区域上构造出一个数量曲率为零的度量。

ABSTRACT

In this paper we study a sharp Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) type inequality with Riesz potential on bounded smooth domains. We obtain the inequality for a general bounded domain $Ω$ and show that if the extension constant for $Ω$ is strictly larger than the extension constant for the unit ball $B_1$ then extremal functions exist. Using suitable test functions we show that this criterion is satisfied by an annular domain whose hole is sufficiently small. The construction of the test functions is not based on any positive mass type theorems, neither on the nonflatness of the boundary. By using a similar choice of test functions with the Poisson-kernel-based extension operator we prove the existence of an abstract domain having zero scalar curvature and strictly larger isoperimetric constant than that of the Euclidean ball.

研究动机与目标

• 将经典的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式推广到具有边界的有界光滑区域。
• 确定在何种条件下，此类区域上延拓算子的极值函数存在。
• 构造测试函数，以验证小孔环形区域的延拓常数超过单位球的条件。
• 证明在等周常数严格大于欧几里得球的区域上，存在一个数量曲率为零的度量。
• 建立延拓算子与几何不等式（包括等周不等式和数量曲率约束）之间的联系。

提出的方法

• 作者为 $ x \in \Omega $ 定义延拓算子 $ E_{\beta,\beta}f(x) = \int_{\partial\Omega} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}} \, dS_y $，将经典HLS不等式推广到有界区域。
• 他们将延拓常数 $ \mathcal{E}_2(\Omega) $ 定义为算子 $ E_2 $ 从 $ L^{2(n-1)/n}(\partial\Omega) $ 到 $ L^{2n/(n-2)}(\Omega) $ 的算子范数。
• 通过在环形区域 $ A_r = B_1 \setminus B_r $ 上对分段常数函数进行调和延拓，构造测试函数以估计算子范数。
• 对调和延拓的 $ L^{2n/(n-2)} $-范数与边界数据的 $ L^{2(n-1)/n} $-范数进行渐近分析，表明当 $ r $ 足够小时，有 $ \mathcal{E}_2(A_r) > \mathcal{E}_2(B_1) $。
• 通过对偶性与共形不变性，将延拓常数与等周比 $ I(\Omega,g) $ 联系起来，证明在数量曲率约束下其取最大值。
• 利用Riesz势与限制算子的正则性结果，证明所构造延拓的光滑性与有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界光滑区域 $ \Omega $ 满足何种条件时，延拓算子 $ E_2 $ 允许存在极值函数？
• RQ2 一个区域 $ \Omega $ 的延拓常数是否可能超过单位球 $ B_1 $ 的常数，这对极值函数的存在性意味着什么？
• RQ3 是否存在一个数量曲率为零且等周常数严格大于欧几里得球的区域？
• RQ4 能否在不依赖正质量定理或边界非平坦性假设的前提下，构造有界区域上HLS不等式的极值函数？
• RQ5 在小孔环形区域上，延拓算子的行为如何与等周不等式及Yamabe型问题等几何不等式相关联？

主要发现

• 对于足够小的 $ r > 0 $，环形区域 $ A_r = B_1 \setminus B_r $，其延拓常数 $ \mathcal{E}_2(A_r) $ 严格大于单位球 $ B_1 $ 的常数，意味着极值函数的存在。
• 基于分段常数边界数据的调和延拓构造的测试函数，不依赖于正质量定理或边界非平坦性，提供了一种验证极值存在性的新方法。
• 通过共形等价与对偶性，将上半空间的精确常数 $ \mathcal{C}_2(n, 2(n-1)/n) $ 推广到有界区域，且该常数对单位球是精确的。
• 作者证明，当 $ r $ 足够小时，若 $ g $ 是与标准度量共形且数量曲率为零，则区域 $ A_r $ 的等周比 $ I(A_r, g) $ 可严格大于欧几里得球的等周比。
• 通过延拓算子与调和延拓的渐近分析，建立了在等周常数优于欧几里得球的区域上存在一个数量曲率为零的度量。
• 延拓算子 $ E_2 $ 将 $ L^{2(n-1)/n}(\partial\Omega) $ 映射到 $ L^{2n/(n-2)}(\Omega) $，其算子范数为 $ \mathcal{E}_2(\Omega) $，且该范数有限，可通过测试函数计算。