[论文解读] An extensional Kleene realizability semantics for the Minimalist Foundation

Maria Emilia Maietti, Samuele Maschio|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文为最小主义基础（MF）提出了一种外延性Kleene实现语义，MF是一种具有内延性层级（mTT）和外延性层级（emTT）的双层类型理论。通过修改Beeson的实现语义以证明命题的证明无关性，作者在不与选择公理（AC）产生不一致的前提下验证了扩展Church论题（CT），确立了emTT与CT的一致性——这使得该实现模型成为emTT的最优实现模型。

ABSTRACT

We build a Kleene realizability semantics for the two-level Minimalist Foundation MF, ideated by Maietti and Sambin in 2005 and completed by Maietti in 2009. Thanks to this semantics we prove that both levels of MF are consistent with the (Extended) formal Church Thesis CT. MF consists of two levels, an intensional one, called mTT and an extensional one, called emTT, based on versions of Martin-Löf's type theory. Thanks to the link between the two levels, it is enough to build a semantics for the intensional level to get one also for the extensional level. Hence here we just build a realizability semantics for the intensional level mTT. Such a semantics is a modification of the realizability semantics in Beeson 1985 for extensional first order Martin-Löf's type theory with one universe. So it is formalised in Feferman's classical arithmetic theory of inductive definitions. It is called extensional Kleene realizability semantics since it validates extensional equality of type-theoretic functions extFun, as in Beeson 1985. The main modification we perform on Beeson's semantics is to interpret propositions, which are defined primitively in MF, in a proof-irrelevant way. As a consequence, we gain the validity of CT. Recalling that extFun+ CT+ AC are inconsistent over arithmetics with finite types, we conclude that our semantics does not validate the full Axiom of Choice AC. On the contrary, Beeson's semantics does validate AC, being this a theorem of Martin-Löf's theory, but it does not validate CT. The semantics we present here appears to be the best Kleene realizability semantics for the extensional level emTT of MF. Indeed Beeson's semantics is not an option for emTT since the full AC added to it entails the excluded middle.

研究动机与目标

• 为最小主义基础（MF）开发一种实现语义，使其在保持函数外延等价性的同时验证扩展Church论题（CT）。
• 通过修改现有的实现框架，解决在emTT外延层级中CT与选择公理（AC）之间的不相容性问题。
• 通过在基于mTT的实现模型中采用命题的证明无关性解释，证明emTT与CT的一致性。
• 证明Beeson的实现语义虽然验证了AC，但不能用于emTT，因为它蕴含排中律。
• 在extFun、CT和AC的逻辑约束下，确立所提出的语义是emTT的最佳可能Kleene实现模型。

提出的方法

• 将Beeson的实现语义适配于具有一个类型层的外延性马丁-洛夫类型理论，但对其修改以实现命题的证明无关性解释。
• 在Feferman的经典算术理论$\widehat{ID_{1}}$中形式化该语义，该理论包含皮亚诺算术和正算术算子的不动点。
• 将mTT-集合解释为如Beeson语义中的方式，同时将命题解释为直觉逻辑连词的Kleene实现的平凡商集。
• 将mTT-小命题的类型定义为包含所有小命题编码的不动点的商集，以确保证明无关性。
• 通过利用证明无关性和在$\mathsf{HA}$上的Kleene实现，验证外延函数等价性（extFun）和扩展Church论题（CT）。
• 通过将emTT在mTT中的解释，将mTT与CT的一致性传递至emTT，利用emTT中CT解释与CT本身之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为最小主义基础构建一种实现语义，使其在保持函数外延等价性的同时验证扩展Church论题（CT）？
• RQ2 为何Beeson的实现语义尽管验证了AC，却不适用于外延层级emTT？
• RQ3 在命题解释中如何通过证明无关性实现CT的有效性，同时不导致选择公理的成立？
• RQ4 是否存在一种emTT的实现模型，可避免extFun、CT与AC之间的不一致性？
• RQ5 能否通过在如$\widehat{ID_{1}}$这样的 predicative 古典理论中形式化实现模型，建立emTT与CT的一致性？

主要发现

• 所提出的实现语义在mTT和emTT中均验证了扩展Church论题（CT），证明了二者与CT的一致性。
• 该语义在命题处理上具有证明无关性，这对于在不与AC产生矛盾的前提下验证CT至关重要。
• 该模型不验证通用类型上的完整选择公理（AC），因为AC在emTT中会蕴含排中律，与其实现性本质相悖。
• Beeson的语义虽然验证了AC，但不能用于emTT，因为向emTT添加AC会推出排中律，使其不适用。
• 该模型是emTT的最优实现模型，因为它满足extFun，验证了CT，且避免了在通用类型上使用AC，完全符合系统的逻辑约束。
• 通过将emTT在mTT中的解释，确立了emTT与CT的一致性，其中mTT与CT的一致性被成功传递。