[论文解读] An extensive study of the regularity properties of solutions to doubly singular equations

Vincenzo Vesprı, Matias Vestberg|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文为形如 $\partial_t u - \nabla \cdot (u^{m-1}|\nabla u|^{p-2}\nabla u) = 0$ 的双重奇异抛物方程的弱解正则性提供了严谨、简洁且自完备的理论，其中 $p \in (1,2)$，$m > 1$，且 $2 < m+p < 3$。通过统一的方法，本文建立了局部有界性、赫尔德连续性以及 $L^1$-哈纳克不等式，纠正了先前工作中存在缺陷的近似方法和不合适的测试函数，并对参数 $m$ 和 $p$ 给出了精确条件。其核心贡献是在最优假设下建立了完整、优雅且正确的正则性理论。

ABSTRACT

In recent years, many papers have been devoted to the regularity of doubly nonlinear singular evolution equations. Many of the proofs are unnecessarily complicated, rely on superfluous assumptions or follow an inappropriate approximation procedure. This makes the theory unclear and quite chaotic to a nonspecialist. The aim of this paper is to fix all the misprints, to follow correct procedures, to exhibit, possibly, the shortest and most elegant proofs and to give a complete and self-contained overview of the theory.

研究动机与目标

• 纠正文献中关于双重非线性奇异抛物方程的广泛缺陷，包括错误的近似方法和不合适的测试函数。
• 为正则性结果提供统一、简洁且严谨的证明框架，消除不必要的假设和过于复杂的论证。
• 在超临界范围 $m+p > 3 - \frac{p}{n}$ 内，建立局部有界性和赫尔德连续性的精确条件。
• 在不假设 $u$ 具有弱梯度的前提下，证明 $L^1$-哈纳克不等式和正性扩张，这在奇异情形下通常不成立。
• 为非专业读者提供双重奇异方程正则性理论的完整、自完备的概述。

提出的方法

• 通过变量替换 $\beta = 1 + \frac{m-1}{p-1}$ 重新表述方程，使方程形式适用于标准弱解理论。
• 定义弱解要求 $u^\beta \in L^p(0,T;W^{1,p}(\Omega))$ 且 $u \in L^{\beta+1}(\Omega_T)$，以确保有效测试函数的可积性。
• 利用能量估计和迭代覆盖技术，在条件 $m+p > 3 - \frac{p}{n-(\frac{n-p}{p})}$ 下推导出局部有界性。
• 通过尺度变换和可变尺寸柱体中的振幅估计，应用正性扩张与哈纳克不等式技术。
• 使用 [8] 和 [9] 中方法的改进版本，适应于 $\nabla u$ 可能不存在的情形，证明 $L^1$-哈纳克不等式。
• 通过振幅衰减与内在尺度方法，在超临界范围 $m+p > 3 - \frac{p}{n}$ 内证明赫尔德连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\nabla u$ 可能不存在时，双重奇异抛物方程弱解的正确定义是什么？
• RQ2 在什么精确条件下，弱解的局部有界性能被保证？
• RQ3 是否可以在不假设 $u$ 具有弱梯度的前提下，证明 $L^1$-哈纳克不等式和正性扩张？
• RQ4 如何统一并简化正则性理论，以避免文献中过于复杂或错误的证明？
• RQ5 解的赫尔德连续性的最优范围是什么？它与超临界条件 $m+p > 3 - \frac{p}{n}$ 的关系如何？

主要发现

• 在精确条件 $m+p > 3 - \frac{p}{n-(\frac{n-p}{p})}$ 下建立了弱解的局部有界性，当 $m=1$ 时该条件退化为 $p > \frac{2n}{n+2}$，与已知的 $p$-拉普拉斯算子的精确结果一致。
• $L^1$-哈纳克不等式在参数范围 $p \in (1,2)$，$m > 1$，$2 < m+p < 3$ 内成立，且无需假设 $\nabla u$ 存在。
• 在超临界范围 $m+p > 3 - \frac{p}{n}$ 内证明了解的赫尔德连续性，该结果如 [6] 所示对 $p$-拉普拉斯算子而言是精确的。
• 本文证明了 $\sup_{B_{R/4}(x_0) \times [-H/4,H/4]} u \leq c \cdot u(\bar{0},0)$，其中 $H = 4R^p u(\bar{0},0)^{3-m-p}$，确认了内在哈纳克估计。
• 通过哈纳克型估计控制球内 $u$ 的下确界与上确界：$\inf u \geq \bar{C}^{-1} \sup u$，其中柱体大小依赖于数据和初始值。
• 证明了在半径为 $r$、时间尺度约为 $r^p$ 的抛物柱体内，有 $u(x,t) \geq \bar{c} \cdot v_0 \cdot r^{\bar{\lambda}}$，其中 $\bar{c}, \bar{\lambda}$ 仅依赖于数据，确认了正性传播。