[论文解读] An HDG method for linear elasticity with strong symmetric stresses

Weifeng Qiu, Jiguang Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用 24

一句话总结

该论文提出了一种新型的混合非连续伽辽金（HDG）方法，用于在一般多面体网格上求解线弹性问题，采用强对称应力弱形式并引入专门设计的数值迹。通过利用超收敛的数值迹和单元内基尔霍夫不等式，该方法在所有变量中均实现了位移的最优收敛率 $k+1$ 和应力的最优收敛率 $k$，即使在接近不可压缩的条件下也保持锁紧-free性能。

ABSTRACT

This paper presents a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for linear elasticity on general polyhedral meshes, based on a strong symmetric stress formulation. The key feature of this new HDG method is the use of a special form of the numerical trace of the stresses, which makes the error analysis different from the projection-based error analyzes used for most other HDG methods. For arbitrary polyhedral elements, we approximate the stress by using polynomials of degree k>=1 and the displacement by using polynomials of degree k+1. In contrast, to approximate the numerical trace of the displacement on the faces, we use polynomials of degree k only. This allows for a very efficient implementation of the method, since the numerical trace of the displacement is the only globally-coupled unknown, but does not degrade the convergence properties of the method. Indeed, we prove optimal orders of convergence for both the stresses and displacements on the elements. In the almost incompressible case, we show the error of the stress is also optimal in the standard L2-norm. These optimal results are possible thanks to a special superconvergence property of the numerical traces of the displacement, and thanks to the use of a crucial elementwise Korn's inequality. Several numerical results are presented to support our theoretical findings in the end.

研究动机与目标

• 开发一种用于线弹性问题的混合非连续伽辽金（HDG）方法，该方法在一般多面体单元上强制实现应力张量的强对称性。
• 在接近不可压缩的情况下，实现位移和应力的最优收敛率，避免体积锁紧现象。
• 通过仅将位移的数值迹作为全局耦合变量，最小化全局耦合自由度，从而减少自由度数量。
• 基于数值迹的超收敛性质和单元内基尔霍夫不等式，建立严格的误差分析，该分析框架与标准投影型 HDG 方法的分析方式不同。
• 在各种网格类型和材料不可压缩性水平下，验证该方法的鲁棒性与最优收敛性。

提出的方法

• 在每个单元内，使用次数为 $k \geq 1$ 的不连续多项式近似应力，使用次数为 $k+1$ 的不连续多项式近似位移。
• 位移的数值迹通过次数为 $k$ 的多项式近似，使其成为唯一的全局耦合未知量，从而实现高效的求解过程。
• 引入一种特殊的应力数值迹形式，以确保强对称性，并为误差分析提供与标准投影型 HDG 方法不同的唯一分析框架。
• 分析依赖于一个关键的单元内基尔霍夫不等式，用于以应力控制应变，从而实现最优误差界。
• 通过使用带数值通量的混合弱形式进行方法构造，全局系统仅保留对迹未知量的条件化。
• 该方法在一般多面体网格上实现，包括四面体、六面体和棱柱形单元，且对单纯形单元无限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般多面体网格上的线弹性问题，混合非连续伽辽金方法能否在应力和位移上均实现最优收敛率？
• RQ2 所提出的方法在接近不可压缩的条件下（特别是泊松比趋近于 0.5 时）是否仍保持锁紧-free 性能？
• RQ3 通过将位移迹的近似限制为次数 $k$，能否在减少全局耦合自由度的同时实现最优收敛率？
• RQ4 与标准投影型 HDG 方法相比，使用特殊数值迹形式如何影响误差分析？
• RQ5 位移数值迹的超收敛性质是否对实现应力和位移场的最优收敛率至关重要？

主要发现

• 在能量范数下，该方法在接近不可压缩情况下仍实现了位移的最优收敛阶 $k+1$ 和应力的最优收敛阶 $k$。
• 在几乎不可压缩区域，证明了应力在 $L^2$-范数下的最优收敛性，证实该方法完全避免了体积锁紧现象。
• 数值实验验证了在 $k=1,2,3$ 的结构化与非结构化网格上，位移和应力的收敛率均保持最优，分别为 $k+1$ 和 $k$ 阶。
• 随着泊松比增加至 0.49999，收敛历史保持稳健且最优，证明了方法的锁紧-free 特性。
• 位移数值迹的超收敛性质是实现应力和位移场最优收敛率的关键因素。
• 该方法在一般多面体网格（包括四面体、六面体和棱柱形单元）上均保持最优收敛性，且对单纯形单元无限制。