[论文解读] An hybrid system approach to nonlinear optimal control problems

Jean‐Guillaume Dumas, Aude Rondepierre|ArXiv.org|Feb 8, 2005

Advanced Control Systems Optimization参考文献 59被引用 3

一句话总结

本文提出一种混合系统方法，通过使用分段仿射模型近似复杂非线性动力学，实现基于混合最大值原理的解析求解。主要贡献是一种计算高效的算法，可计算具有仿射反馈控制和切换时间检测的混合极值轨迹，从而为高维系统生成全局结构化的最优轨迹。

ABSTRACT

We consider a nonlinear ordinary differential equation and want to control its behavior so that it reaches a target by minimizing a cost function. Our approach is to use hybrid systems to solve this problem: the complex dynamic is replaced by piecewise affine approximations which allow an analytical resolution. The sequence of affine models then forms a sequence of states of a hybrid automaton. Given a sequence of states, we introduce an hybrid approximation of the nonlinear controllable domain and propose a new algorithm computing a controllable, piecewise convex approximation. The same way the nonlinear optimal control problem is replaced by an hybrid piecewise affine one. Stating a hybrid maximum principle suitable to our hybrid model, we deduce the global structure of the hybrid optimal control steering the system to the target.

研究动机与目标

• 解决在计算资源有限条件下求解高维非线性最优控制问题的挑战。
• 构建一种混合系统框架，将非线性动力学简化为可分析的分段仿射模型。
• 利用混合自动机结构，提供非线性系统可控集的凸且保证的近似。
• 建立混合最大值原理，以表征最优控制结构并计算模式之间的切换时间。
• 通过反馈控制律和离散模式下的轨迹仿真，实现最优控制问题的解析求解。

提出的方法

• 使用状态-控制空间的多面体网格对非线性向量场 f(X,u) 进行近似，将空间划分为若干单元，使每个单元内的动力学为分段仿射形式：dX/dt = AX + Bu + c。
• 定义一个混合自动机，其离散模式对应于网格中的每个单元，允许在单元边界处发生模式切换。
• 在每个模式内，利用从混合哈密顿函数导出的必要最优性条件，计算仿射反馈控制。
• 应用混合最大值原理，允许模式间无约束的转换，并确保伴随状态在边界处的连续性。
• 使用算法2迭代计算极值轨迹：求解状态和伴随动力学，检测离开单元的时间，并更新下一模式的初始条件。
• 通过哈密顿条件实现切换时间检测：当 H_h > 0 时触发模式切换，实现对混合极值轨迹的逐步仿真。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过分段仿射混合系统有效近似非线性最优控制问题，以在精度与计算成本之间取得平衡？
• RQ2 在分段仿射动力学下，非线性系统的可控集是否存在一种保证的凸近似？
• RQ3 如何构建混合最大值原理，以捕捉跨越多个仿射模式的最优轨迹的全局结构？
• RQ4 在混合最优控制框架中，何种条件可确保伴随状态在模式切换处的连续性？
• RQ5 当结合切换时间检测时，每个模式中的仿射反馈控制是否能产生全局最优解？

主要发现

• 所提出的混合近似方法通过在状态-控制空间的网格中用分段仿射模型替代复杂动力学，实现了非线性最优控制问题的解析求解。
• 提出的新算法可计算可控集的分段凸下近似，该近似保证位于真实可控集的有界距离之内。
• 当可控集为凸时，该近似为精确的下近似，从而提供了严格的可控性保证。
• 混合最大值原理成功表征了最优轨迹的全局结构，表明在每个模式中，最优控制为仿射反馈形式。
• 该算法通过监测哈密顿量来检测模式间的切换时间，确保在不预先知晓轨迹结构的情况下，实现精确的过渡跟踪。
• 该方法在基准问题（非线性弹簧和轨道转移）上得到验证，展示了在高维场景下的高效性与准确性。