[论文解读] An Icosahedral Quasicrystal as a Golden Modification of the Icosagrid and its Connection to the E8 Lattice

Fang Fang, Klee Irwin|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2015

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文介紹了斐波那契修訂十 plane icosagrid quasicrystal（准晶），一種具有二十面體對稱性的三維准晶，透過將斐波那契間距應用於十平面的 icosagrid 建構而成。該結構透過 E8 格點與四維 Elser-Sloane 准晶建立深刻關聯，嵌入了 20 個以黃金分割比旋轉的三維 Elser-Sloane 結構切片，形成具有二十面體秩序的重複 20 個正四面體簇。

ABSTRACT

We present an icosahedral quasicrystal as a modification of the icosagrid, a multigrid with 10 plane sets that are arranged with icosahedral symmetry. We use the Fibonacci chain to space the planes, thereby obtaining a quasicrystal with icosahedral symmetry. It has a surprising correlation to the Elser-Sloane quasicrystal, a 4D cut-and-project of the E8 lattice. We call this quasicrystal the Fibonacci modified icosagrid quasicrystal. We found that this structure totally embeds another quasicrystal that is a compound of 20 3D slices of the Elser-Sloane quasicrystal. The slices, which contain only regular tetrahedra, are put together by a certain golden ratio based rotation. Interesting 20-tetrahedron clusters arranged with the golden ratio based rotation appear repetitively in the structure. They are arranged with icosahedral symmetry. It turns out that this rotation is the dihedral angle of the 600-cell (the super-cell of the Elser-Sloane quasicrystal) and the angle between the tetrahedral facets in the E8 polytope known as the Gosset polytope.

研究动机与目标

• 透過修改的多網格結構，構建具有二十面體對稱性的三維准晶。
• 透過截取與投影方法，探討二十面體准晶與四維 E8 格點之間的關係。
• 識別出基於黃金分割比旋轉對稱性的准晶排列中所出現的結構 motif。
• 展示在新准晶結構中，20 個三維 Elser-Sloane 准晶切片的嵌入。

提出的方法

• 以具有二十面體對稱性的十平面多網格（icosagrid）作為基礎框架進行構建。
• 將斐波那契鏈間距應用於平面，以產生具有長程非週期性秩序的准晶結構。
• 分析所得結構中，來自四維 Elser-Sloane 準晶的三維切片之投影嵌入。
• 識別出由基於黃金分割比旋轉的正四面體面所形成的重複 20 個正四面體簇。
• 將旋轉對稱性與 600 結構的二面角及 E8 格點中的 Gosset 多面體關聯。
• 透過幾何與拓撲分析，驗證所得準晶的二十面體對稱性與結構一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何從具備斐波那契間距的修改多網格中，構建出具有二十面體對稱性的三維準晶？
• RQ2 此新準晶與源自 E8 格點的四維 Elser-Sloane 準晶之間，存在何種幾何與代數關聯？
• RQ3 20 個正四面體簇如何形成？其排列受何種旋轉對稱性所主導？
• RQ4 黃金分割比在 Elser-Sloane 準晶三維切片的旋轉嵌入中扮演何種角色？
• RQ5 600 結構的二面角是否等同於正四面體簇排列中所觀察到的旋轉角度？

主要发现

• 斐波那契修訂十平面 icosagrid 準晶透過十平面多網格與斐波那契間距的構建，展現出完美的二十面體對稱性。
• 該結構完整嵌入 20 個三維 Elser-Sloane 準晶切片，每一切片僅包含正四面體。
• 這些嵌入的切片透過基於黃金分割比的旋轉方式排列，其角度與 600 結構的二面角一致。
• 重複出現的 20 個正四面體簇具有二十面體秩序，其穩定性來自與 E8 格點中 Gosset 多面體相同的黃金分割比旋轉。
• 連接簇的旋轉對稱性，精確對應於 Gosset 多面體中正四面體面之間的夾角。
• 整個準晶結構透過其四維投影，與 E8 格點在幾何上完全一致，確立了三維準晶與 E8 之間的新型非週期性連結。