[论文解读] An Immersed Boundary Method with Divergence-Free Velocity Interpolation

Yuanxun Bao, Aleksandar Donev+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的浸入边界（IB）方法，通过强制实现无散度的插值速度场与力扩散，显著提升了流固耦合模拟中的体积守恒性能。通过确保插值后的拉格朗日速度场为C¹且无散度，并采用伴随法进行力扩散，该方法有效减少了在存在大压力差的薄边界结构中出现的虚假体积变化，同时仅带来适度的计算成本增加。

ABSTRACT

The Immersed Boundary (IB) method is a mathematical framework for constructing robust numerical methods to study fluid-structure interaction in problems involving an elastic structure immersed in a viscous fluid. The IB formulation uses an Eulerian representation of the fluid and a Lagrangian representation of the structure. The Lagrangian and Eulerian frames are coupled by integral transforms with delta function kernels. The discretized IB equations use approximations to these transforms with regularized delta function kernels to interpolate the fluid velocity to the structure, and to spread structural forces to the fluid. It is well-known that the conventional IB method can suffer from poor volume conservation since the interpolated Lagrangian velocity field is not generally divergence-free, and so this can cause spurious volume changes. In practice, the lack of volume conservation is especially pronounced for cases where there are large pressure differences across thin structural boundaries. The aim of this paper is to greatly reduce the volume error of the IB method by introducing velocity-interpolation and force-spreading schemes with the property that the interpolated velocity field in which the structure moves is at least $\mathscr{C}^1$ and satisfies a continuous divergence-free condition, and the force-spreading operator is the adjoint of the velocity-interpolation operator. We confirm through numerical experiments in two and three dimensions that our new IB method equipped with divergence-free velocity interpolation and force spreading is able to achieve substantial improvement in volume conservation compared to other existing IB methods, at the expense of a modest increase in the computational cost.

研究动机与目标

• 为解决传统浸入边界（IB）方法中在薄结构边界且存在大压力差时体积守恒性能差的长期问题。
• 开发一种速度插值方案，确保插值后的拉格朗日速度场至少为C¹且满足连续无散度条件。
• 构建一个作为速度插值算子伴随算子的力扩散算子，以保证一致性与守恒性质。
• 在不牺牲数值稳定性或引入过高计算成本的前提下，显著提升体积守恒性能。

提出的方法

• 采用C¹正则化δ函数核进行速度插值，确保流体速度向拉格朗日结构点的插值过程平滑且无散度。
• 设计速度插值算子，使得插值后的速度场在连续意义下保持无散度，从而维持体积完整性。
• 将力扩散算子构造为速度插值算子的伴随算子，确保拉格朗日力与欧拉流体力之间的一致性。
• 采用变分法推导插值与扩散算子，确保数学一致性与更优的守恒性质。
• 该方法在二维与三维中均实现，其数值格式在离散层面保持无散度性质。
• 通过基准流固耦合问题对方法进行验证，以评估其体积守恒性能与精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 无散度速度插值方案是否能显著降低浸入边界方法在薄结构、高压力梯度场景下的体积误差？
• RQ2 在插值核中强制实现C¹正则性对IB模拟中流体体积守恒有何影响？
• RQ3 采用伴随法力扩散算子对IB方法的稳定性与精度有何影响？
• RQ4 与采用标准δ函数核的传统IB方法相比，所提方法在体积守恒方面改善程度如何？

主要发现

• 与传统IB方法相比，所提方法在存在大压力差的薄结构情况下实现了显著的体积守恒性能提升。
• 插值后的速度场为无散度且C¹，可有效防止传统IB格式中常见的虚假体积变化。
• 采用伴随力扩散算子可确保拉格朗日力与欧拉流体力之间的一致性，从而增强守恒性质。
• 二维与三维的数值实验表明，该方法在显著降低体积误差的同时保持了高精度。
• 计算成本仅略有增加，使该方法在实际流固耦合模拟中具备可行性。
• 该方法在多种基准问题上表现出稳健性能，验证了其有效性与通用性。