[论文解读] An implementation of CAD in Maple utilising problem formulation, equational constraints and truth-table invariance

Matthew England|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在 Maple 中对柱面代数分解（Cylindrical Algebraic Decomposition, CAD）的增强实现，引入了等式约束和真值表不变性，显著减少了 CAD 计算中的剖分单元数量。通过改进等式约束的投影与提升阶段，并将 TTICAD 扩展至更广泛的输入形式，该方法在效率和可扩展性方面优于现有工具，在测试实例中单元数量最多减少了 75%。

ABSTRACT

Cylindrical algebraic decomposition (CAD) is an important tool for the investigation of semi-algebraic sets, with applications within algebraic geometry and beyond. We recently reported on a new implementation of CAD in Maple which implemented the original algorithm of Collins and the subsequent improvement to projection by McCallum. Our implementation was in contrast to Maple's in-built CAD command, based on a quite separate theory. Although initially developed as an investigative tool to compare the algorithms, we found and reported that our code offered functionality not currently available in any other existing implementations. One particularly important piece of functionality is the ability to produce order-invariant CADs. This has allowed us to extend the implementation to produce CADs invariant with respect to either equational constraints (ECCADs) or the truth-tables of sequences of formulae (TTICADs). This new functionality is contained in the second release of our code, along with commands to consider problem formulation which can be a major factor in the tractability of a CAD. In the report we describe the new functionality and some theoretical discoveries it prompted. We describe how the CADs produced using equational constraints are able to take advantage of not just improved projection but also improvements in the lifting phase. We also present an extension to the original TTICAD algorithm which increases both the applicability of TTICAD and its relative benefit over other algorithms. The code and an introductory Maple worksheet / pdf demonstrating the full functionality of the package are freely available online.

研究动机与目标

• 开发一种在 Maple 中支持超越标准符号不变性的新型 CAD 实现。
• 通过支持基于等式约束的分解（ECCAD）和真值表不变 CAD（TTICAD），解决现有 CAD 工具的局限性。
• 通过引入问题建模启发式方法以优化输入结构，提升计算的可处理性。
• 将 TTICAD 的适用范围扩展至不具有全局等式约束的公式，提升其实际应用价值。

提出的方法

• 该实现基于柯林斯原始的 CAD 算法以及麦卡勒姆改进的投影算子，采用投影与提升阶段。
• 利用等式约束优化投影与提升阶段，从而减少最终 CAD 中的单元数量。
• 通过扩展 TTICAD 算法实现真值表不变性，支持基于多个公式逻辑结构的分解。
• 支持多种输入形式，并通过启发式方法选择最高效的计算形式。
• 提出一种新算法，将 TTICAD 扩展至处理不具有全局等式约束的公式，从而扩大其适用范围。
• 该实现已集成至 ProjectionCAD Maple 工具包中，提供完整的文档以及开源的代码与教程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用等式约束来改进 CAD 计算中的投影与提升阶段？
• RQ2 在复杂公式中，TTICAD 相较于标准符号不变 CAD 在单元数量减少方面能实现多大程度的提升？
• RQ3 TTICAD 是否可被扩展以处理不具有全局等式约束的公式，同时保持其效率优势？
• RQ4 不同的问题建模形式如何影响 CAD 构建的计算复杂度？
• RQ5 与 Qepcad 及其他最先进的 CAD 工具相比，新的 ProjectionCAD 实现的相对性能如何？

主要发现

• 对于公式 Φ₁，TTICAD 将单元数量从全符号不变 CAD 的 83 个减少至 53 个，减少了 35.0%。
• 对于 Φ₃，TTICAD 实现了 157 个单元，而全 CAD 为 695 个，单元数量减少了 77.4%。
• 在无全局等式约束的情况下，TTICAD 依然适用，而 ECCAD 和声明约束的 Qepcad 均失败，显示出其独特优势。
• 扩展后的 TTICAD 算法使原本不在其适用范围内的公式得以处理，显著提升了其相对于其他方法的优势。
• 新实现的性能在单元数量和计算时间方面均具有竞争力，尽管原始运行时间较慢，但在单元效率方面优于 Qepcad。
• 问题建模启发式方法显著减少了单元数量，最佳建模形式在测试实例中将复杂度降低了最多 75%。