[论文解读] An implicit--explicit second order BDF numerical scheme with variable steps for gradient flows

Dianming Hou, Zhonghua Qiao|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2022

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于梯度流的新型隐式-显式（IMEX）二阶BDF格式，采用标量辅助变量（SAV）方法并引入可变时间步长。该格式在时间步长比 ≤ 4.8645 时实现无条件能量稳定性，并在非均匀网格上提供了严格的收敛性分析与最优误差估计，数值实验与粗化动力学模拟中的自适应时间步长效率验证了其有效性。

ABSTRACT

In this paper, we propose and analyze an efficient implicit--explicit (IMEX) second order in time backward differentiation formulation (BDF2) scheme with variable time steps for gradient flow problems using the scalar auxiliary variable (SAV) approach. We prove the unconditional energy stability of the scheme for a modified discrete energy with the adjacent time step ratio $γ_{n+1}:=\Dt_{n+1}/\Dt_{n}\leq 4.8645$. The uniform $H^{2}$ bound for the numerical solution is derived under a mild regularity restriction on the initial condition, that is $ϕ(\x,0)\in H^{2}$. Based on this uniform bound, a rigorous error estimate of the numerical solution is carried out on the temporal nonuniform mesh. Finally, serval numerical tests are provided to validate the theoretical claims. With the application of an adaptive time-stepping strategy, the efficiency of our proposed scheme can be clearly observed in the coarsening dynamics simulation.

研究动机与目标

• 为非均匀时间网格上的梯度流开发一种高效且无条件能量稳定的数值格式。
• 解决在可变时间步长下构建高阶、稳定BDF2格式的挑战，尤其适用于刚性及长时间模拟。
• 在长时间模拟中实现自适应时间步长策略，同时不牺牲稳定性或精度。
• 在较弱正则性假设下，为所提格式建立严格的收敛性分析与能量稳定性。
• 通过自适应时间步长在粗化动力学模拟中的数值实验，展示该格式的效率与鲁棒性。

提出的方法

• 采用标量辅助变量（SAV）方法，为梯度流构建一种具有可变时间步长（VBDF2）的二阶BDF格式。
• 引入IMEX（隐式-显式）时间离散化：对线性扩散项采用隐式处理，对非线性势能项通过二次插值算子实现显式处理。
• 采用修正的离散能量泛函，证明在相邻时间步长比 $\gamma_{n+1} = \Delta t_{n+1}/\Delta t_n \leq 4.8645$ 的条件下，实现无条件能量稳定性。
• 使用二次插值算子 $\Pi_{2,j}\phi(t)$ 构造时间导数在中间点 $t_{n+\sigma}$ 处的二阶精度近似。
• 定义辅助变量 $r^{n+1}$ 和 $\xi^{n+1}$ 以保持SAV结构，确保尽管 $r$ 和 $\xi$ 仅具有一阶精度，相场变量 $\phi$ 仍保持二阶精度。
• 在初始数据满足弱正则性条件 $\phi(\mathbf{x},0) \in H^2$ 的前提下，建立数值解的统一 $H^2$ 有界性，从而实现非均匀网格上的严格误差分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非均匀时间网格上，为梯度流构造一种无条件能量稳定的二阶BDF格式，并采用可变时间步长？
• RQ2 在采用SAV方法的可变步长BDF2格式中，无条件能量稳定性的最大允许时间步长比 $\gamma_{n+1}$ 是多少？
• RQ3 如何将SAV框架扩展至具有可变时间步长的IMEX BDF2格式，同时保持二阶精度与稳定性？
• RQ4 该格式在非均匀时间网格上的收敛速率是多少？其对初始数据正则性依赖如何？
• RQ5 该格式能否在粗化动力学的长时间模拟中有效支持自适应时间步长策略？

主要发现

• 所提出的IMEX VBDF2格式在时间步长比 $\gamma_{n+1} \leq 4.8645$ 时实现无条件能量稳定性，显著优于文献中已有的稳定界。
• 在初始条件 $\phi(\mathbf{x},0) \in H^2$ 的弱假设下，建立了数值解的统一 $H^2$ 有界性，这对收敛性分析至关重要。
• 在非均匀时间网格上，推导出数值解的最优阶误差估计，证实了时间方向的二阶收敛性。
• 尽管辅助变量 $r^{n+1}$ 和 $\xi^{n+1}$ 仅具有一阶精度，但通过SAV格式的结构设计，相场变量 $\phi$ 仍保持二阶精度。
• 数值实验验证了理论结论，显示与预测收敛率高度一致，并在采用自适应时间步长时展现出显著的效率提升。
• 在粗化动力学模拟中应用自适应时间步长，进一步证实了该格式在长时间模拟中的实际效率与鲁棒性。