[论文解读] An implicit function theorem for Lipschitz mappings into metric spaces

Piotr Hajłasz, Scott Zimmerman|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文为从欧几里得空间到任意度量空间的Lipschitz映射建立了度量隐函数定理，以Hausdorff测度内容的上n密度为正代替经典的秩条件。关键结果表明，在此条件下，局部上该映射可通过双Lipschitz变量变换和到ℝⁿ的Lipschitz商映射等价于前n个坐标的投影，从而将经典隐函数定理推广至度量空间目标。

ABSTRACT

We prove a version of the implicit function theorem for Lipschitz mappings $f:\mathbb{R}^{n+m}\supset A o X$ into arbitrary metric spaces. As long as the pull-back of the Hausdorff content $\mathcal{H}_{\infty}^n$ by $f$ has positive upper $n$-density on a set of positive Lebesgue measure, then, there is a local diffeomorphism $G$ in $\mathbb{R}^{n+m}$ and a Lipschitz map $π:X o \mathbb{R}^n$ such that $π\circ f\circ G^{-1}$, when restricted to a certain subset of $A$ of positive measure, is a the orthogonal projection of $\mathbb{R}^{n+m}$ onto the first $n$-coordinates. This may be seen as a qualitative version of a similar result of Azzam and Schul. The main tool in our proof is the metric change of variables introduced in a paper of Hajlasz and Malekzadeh.

研究动机与目标

• 将经典隐函数定理推广至任意度量空间值映射，其中导数的秩条件被几何密度条件所取代。
• 在拉回的𝒫∞ⁿ具有正上n密度的集合上正测度时，建立Lipschitz映射𝑓: ℝⁿ⁺ᵐ → 𝑋的结构表征。
• 证明此类映射在局部上可通过双Lipschitz微分同胚和到ℝⁿ的Lipschitz投影因子分解，保持纤维结构和局部双Lipschitz性质。
• 证明在正测度集上𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥) > 0的条件严格强于ℋⁿ(𝑓(𝐴)) > 0，且后者无法替代前者以保证全局双Lipschitz结构。

提出的方法

• 主要工具是先前工作中发展的度量变量变换技术，经调整以分析Lipschitz映射下Hausdorff测度内容的行为。
• 证明依赖于上n密度𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥)，定义为limsup 𝒫∞ⁿ(𝑓(𝐵(𝑥,𝑟)∩𝐴)) / (𝜔𝑛𝑟ⁿ)，其作用如同广义的雅可比行列式。
• 关键步骤利用了𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥) > 0蕴含小球内存在正的n维测度内容，从而可在正测度集𝐾 ⊂ 𝐴上构造双Lipschitz微分同胚𝐺。
• 构造确保𝜋 ∘ 𝑓 ∘ 𝐺⁻¹在𝐺(𝐾)上限制为前𝑛个坐标的正交投影，其中𝜋: 𝑋 → ℝⁿ为√𝑛-Lipschitz。
• 证明建立了定量下界：对𝐹 = 𝑓 ∘ 𝐺⁻¹，有‖𝑥₁ − 𝑥₂‖∞ ≤ 𝑑(𝐹(𝑥₁,𝑦), 𝐹(𝑥₂,𝑦))，确保纤维上的单射性。
• 通过反例表明，𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥) > 0的条件无法弱化为ℋⁿ(𝑓(𝐴)) > 0，因为在这些情况下全局双Lipschitz结构会失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典隐函数定理能否推广至任意度量空间值映射？
• RQ2 Lipschitz映射𝑓: ℝⁿ⁺ᵐ → 𝑋的何种几何条件可确保其在局部上通过双Lipschitz变量变换因子分解为到ℝⁿ的投影？
• RQ3 在缺乏可微性的情况下，上n密度𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥)如何作为雅可比行列式之替代？
• RQ4 在正测度集上𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥) > 0的条件是否足以保证纤维的局部双Lipschitz结构和投影行为？
• RQ5 𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥) > 0的条件能否弱化为ℋⁿ(𝑓(𝐴)) > 0而不丧失全局双Lipschitz因子分解的构造能力？

主要发现

• 若𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥) > 0在正Lebesgue测度集合上成立，则ℋⁿ(𝑓(𝐴)) > 0，确保像具有正n维测度内容。
• 存在正测度集𝐾 ⊂ 𝐴、双Lipschitz的𝐶¹-微分同胚𝐺，以及ℝⁿ上的√𝑛-Lipschitz映射𝜋: 𝑋 → ℝⁿ，使得𝜋 ∘ 𝑓 ∘ 𝐺⁻¹在𝐺(𝐾)上作用为前𝑛个坐标的正交投影。
• 𝑓 ∘ 𝐺⁻¹的任意点的原像包含于纤维{𝑥} × ℝᵐ中，保持投影的纤维结构。
• 𝑓 ∘ 𝐺⁻¹在任一ℝⁿ × {𝑦}上的限制为双Lipschitz，且具有定量下界：‖𝑥₁ − 𝑥₂‖∞ ≤ 𝑑(𝐹(𝑥₁,𝑦), 𝐹(𝑥₂,𝑦))。
• 条件𝜃*ⁿ(𝑓,𝑥) > 0严格强于ℋⁿ(𝑓(𝐴)) > 0；反例表明后者无法保证全局双Lipschitz因子分解。
• 对ℋⁿ-几乎处处𝑥 ∈ 𝑋，原像𝑓⁻¹(𝑥)为可数𝐻ᵐ-可求和的，此为定理主要结论的推论。