[论文解读] An improved algorithm to compute the exponential of a matrix

Philipp Bader, Sergio Blanes+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新算法，通过优化矩阵指数的泰勒多项式求值，减少了矩阵乘法的次数，相较于Paterson–Stockmeyer方法，该方法在广泛范围的矩阵范数下，性能优于Padé逼近方法10%至30%，因此是MATLAB的expm等标准软件库的更优替代方案。

ABSTRACT

In this work, we present a new way to compute the Taylor polynomial of the matrix exponential which reduces the number of matrix multiplications in comparison with the de-facto standard Patterson-Stockmeyer method. This reduction is sufficient to make the method superior in performance to Padé approximants by 10-30% over a range of values for the matrix norms and thus we propose its replacement in standard software kits. Numerical experiments show the performance of the method and illustrate its stability.

研究动机与目标

• 降低计算矩阵指数泰勒多项式所需计算成本。
• 改进广泛使用的Paterson–Stockmeyer方法在计算矩阵多项式求值时的性能。
• 在缩放与平方算法中，为Padé逼近方法提供一种更高效的替代方案。
• 在保持与现有方法（如MATLAB的expm）相当的数值稳定性的同时，降低计算成本。
• 提供一种实用且可实现的算法，适用于集成到标准科学软件中。

提出的方法

• 提出一种广义递归算法，以比Paterson–Stockmeyer方法更少的矩阵乘积计算矩阵多项式。
• 通过分层分解重新组织泰勒多项式系数的求值过程，以提高每单位矩阵乘积的多项式次数。
• 与Paterson–Stockmeyer方法相比，实现了更高次多项式（例如，6次矩阵乘积可计算22次多项式，而Paterson–Stockmeyer方法仅能实现16次多项式）。
• 采用类似Horner的求值策略，并通过优化系数分组以最小化乘法次数。
• 将该方法整合到缩放与平方框架中，用以替代内层多项式求值步骤中的Padé逼近方法。
• 通过使用标准测试矩阵和各类范数下的随机矩阵进行数值实验，验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将计算矩阵指数泰勒多项式所需的矩阵乘法次数降低至Paterson–Stockmeyer方法的标准以下？
• RQ2 所提出的方法在保持数值稳定性的同时，是否在计算成本上优于Padé逼近方法？
• RQ3 在哪些矩阵范数范围内，基于新泰勒方法的缩放与平方算法比基于Padé的方法更高效？
• RQ4 与现有实现（如MATLAB的expm）相比，该新方法在精度和稳定性方面表现如何？
• RQ5 该方法能否推广至在相同矩阵乘积数量下实现更高次多项式？

主要发现

• 与Paterson–Stockmeyer方法相比，新算法显著减少了计算矩阵指数泰勒多项式所需的矩阵乘法次数。
• 在6次矩阵乘积下，新方法可计算22次多项式，而Paterson–Stockmeyer方法仅能实现16次多项式。
• 在单精度和双精度下，该方法在广泛范围的矩阵范数中，性能优于Padé逼近方法10%至30%。
• 新方法的相对误差保持在Horner格式求值的预期范围内，且与Padé方法相当。
• 该方法具有良好的数值稳定性，适合集成到MATLAB的expm函数等标准软件库中。
• 对于小到中等范数的矩阵，基于新泰勒方法的缩放与平方算法显著优于基于Padé的实现。