[论文解读] An Improved Linear Programming Bound on the Average Distance of a Binary Code

Lei Yu, Vincent Y. F. Tan|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文通过为Fu、Wei和Yeung的线性规划公式中的对偶程序构造一个更优的可行解，改进了二元码最小平均汉明距离的线性规划界。作者在所有 $0 < a \leq 1/2$ 的情况下实现了渐近最优界，其中 $a = M/2^n$，并进一步将该方法应用于推导各种次数的布尔函数的傅里叶权重界。

ABSTRACT

Ahlswede and Katona (1977) posed the following isodiametric problem in Hamming spaces: For every $n$ and $1\le M\le2^{n}$, determine the minimum average Hamming distance of binary codes with length $n$ and size $M$. Fu, Wei, and Yeung (2001) used linear programming duality to derive a lower bound on the minimum average distance. However, their linear programming approach was not completely exploited. In this paper, we improve Fu-Wei-Yeung's bound by finding a better feasible solution to their dual program. For fixed $0

研究动机与目标

• 为所有 $0 < a \leq 1/2$ 的情况，改进大小为 $M = \lceil a 2^n \rceil$ 的二元码的最小平均汉明距离的线性规划界。
• 通过构造一个更优的可行解，更有效地利用Fu-Wei-Yeung线性规划公式的对偶程序。
• 在 $n \to \infty$ 的极限下，表征通过Fu-Wei-Yeung线性规划方法可实现的所有渐近最优界。
• 将改进的线性规划技术应用于推导布尔函数度数 $m$ 的傅里叶权重的上界。
• 建立码的平均距离与对应布尔函数的一阶傅里叶权重之间的紧密联系。

提出的方法

• 使用对偶距离分布，将平均距离最小化问题表述为线性规划问题。
• 应用强对偶性，将原始最小化问题转化为对偶最大化问题。
• 构造一个依赖于参数 $a = M/2^n$ 的新对偶程序可行解，优于Fu-Wei-Yeung使用的常数解 $(0,\dots,0,1/2)$。
• 证明该新可行解在所有 $0 < a \leq 1/2$ 的情况下，当 $n \to \infty$ 时为渐近最优。
• 利用平均距离与一阶傅里叶权重之间的关系：$ \mathbf{W}_1 = 4a^2(n - 2D(A)) $，将 $D(A)$ 的界转化为 $\mathbf{W}_1$ 的界。
• 将该方法扩展至使用类似的线性规划技术，对 $m \geq 2$ 的高阶傅里叶权重 $\mathbf{W}_m$ 进行界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过选择更优的对偶可行解，改进Fu、Wei和Yeung关于二元码最小平均汉明距离的线性规划界？
• RQ2 在 $n \to \infty$ 时，对于 $0 < a \leq 1/2$，Fu-Wei-Yeung公式中对偶程序的渐近最优值是多少？
• RQ3 改进后的界与布尔函数的傅里叶权重（特别是第一阶权重）有何关系？
• RQ4 线性规划方法能否扩展至对布尔函数的高阶傅里叶权重进行界估计？
• RQ5 新构造的可行解是否渐近最优？它是否捕获了原始线性规划框架下可推导出的所有可能界？

主要发现

• 作者构造了一个新的对偶线性规划可行解，其严格优于Fu、Wei和Yeung之前的界。
• 对于 $M = \lceil a 2^n \rceil$ 且 $0 < a \leq 1/2$ 的情况，新界在 $n \to \infty$ 时实现了对偶程序的渐近最优值。
• 改进后的界给出 $ D(A) \geq \frac{n}{2} - \frac{1}{4a} + o(1) $，对所有 $a \in (0, 1/2]$ 均达到对偶程序的渐近最优性。
• 当 $a = 1/2$ 和 $a = 1/4$ 时，该界是紧的，且对子立方体码达到等号。
• 该方法完整表征了通过Fu-Wei-Yeung线性规划框架可实现的所有渐近可达界。
• 该方法被扩展以推导布尔函数 $m$ 阶傅里叶权重 $\mathbf{W}_m$ 的上界，其中对 $m=1$ 和 $m=2$ 推导出了显式表达式。