[论文解读] An Improved Lower Bound for Matroid Intersection Prophet Inequalities

Raghuvansh R. Saxena, Santhoshini Velusamy+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

该论文通过重新分析 [KW12] 中的经典难例，将在拟阵交约束下的 prophet 不等式下界从 Ω(√q) 提升至 q^{1/2 + Ω(1/log log q)}。作者利用 [AA20] 中的先进组合技术，对由 p 个大小为 p 的不相交团组成的图的乘积维数得出了更紧的上界，这直接转化为表示可行性约束所需的更少划分拟阵数量，从而强化了该设定下 prophet 不等式的不可近似性结果。

ABSTRACT

We consider prophet inequalities subject to feasibility constraints that are the intersection of $q$ matroids. The best-known algorithms achieve a $Θ(q)$-approximation, even when restricted to instances that are the intersection of $q$ partition matroids, and with i.i.d.~Bernoulli random variables. The previous best-known lower bound is $Θ(\sqrt{q})$ due to a simple construction of [Kleinberg-Weinberg STOC 2012] (which uses i.i.d.~Bernoulli random variables, and writes the construction as the intersection of partition matroids). We establish an improved lower bound of $q^{1/2+Ω(1/\log \log q)}$ by writing the construction of [Kleinberg-Weinberg STOC 2012] as the intersection of asymptotically fewer partition matroids. We accomplish this via an improved upper bound on the product dimension of a graph with $p^p$ disjoint cliques of size $p$, using recent techniques developed in [Alon-Alweiss European Journal of Combinatorics 2020].

研究动机与目标

• 为 q-拟阵交约束下的 prophet 不等式，弥合最佳已知上界与下界之间的差距。
• 提升在 q-拟阵可行性约束下，任何算法可实现的近似比的下界。
• 重新分析 [KW12] 中的经典难例，该难例使用独立同分布的伯努利随机变量，且可表示为划分拟阵的交集。
• 确定 [KW12] 构造是否可使用渐近少于 p² 个划分拟阵表示，从而改进不可近似性界。

提出的方法

• 通过分析由 p 个大小为 p 的不相交团组成的图 Q(p, pp) 的乘积维数，将 [KW12] 构造重新表达为划分拟阵的交集。
• 应用 [AA20] 中关于 r ≫ s 时 Q(s, r) 的乘积维数的最新组合结果，以界定所需划分拟阵的数量。
• 使用带排列和二进制字符串的二分图构造，来建模集合系统的覆盖性质。
• 利用 Hall 定理和基于度数的子采样论证，在二分图中寻找大量顶点不相交的星形结构，以确保在排列下的覆盖性。
• 通过归纳构造，从基础情形出发，利用标量乘法和排列作用进行缩放，逐步构建大小递增的 Sz-覆盖族。
• 证明所得到的集合族在由模 p 的本原根生成的乘法群作用下是 S-覆盖的，从而确保在排列和缩放下的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 图 Q(p, pp) 的乘积维数是多少，其中包含 p 个大小为 p 的不相交团？
• RQ2 [KW12] 的 prophet 不等式难例是否可使用少于 p² 个划分拟阵表示？
• RQ3 若能改进 Q(p, pp) 的乘积维数上界，是否可导致拟阵交 prophet 不等式更强的下界？
• RQ4 即使在 i.i.d. 伯努利情形下，是否存在严格优于 Θ(q) 的近似比，可被证明为 prophet 不等式在 q-拟阵交约束下的最优解？
• RQ5 表示给定可行性约束系统 I 所需的最少划分拟阵数量是多少？

主要发现

• 本文建立了在 q 个划分拟阵交集下的 prophet 不等式的新下界：α(CPartInt(q)) ≥ q^{1/2 + Ω(1/log log q)}。
• 通过证明 [KW12] 构造可使用 p^{2 - Ω(1/log log p)} 个划分拟阵而非 p² 个，实现了改进的下界。
• Q(p, pp) 的乘积维数上界为 p^{2 - Ω(1/log log p)}，优于先前的 p² 上界。
• 归纳构造生成的 Sz-覆盖族大小至少为 (2 - 0.5(z+1)/(log p)²)^ℓz，对每个 z ≤ log p 成立。
• 当 z = log p 时，最终构造的族大小至少为 (2 - 0.5/log p / (log p)²)^ℓ，代入 q = p^{p} 并关联至 prophet 不等式设定后，可推出主结论。
• 该结果表明，经典 [KW12] 实例无法用少于 p^{2 - Ω(1/log log p)} 个划分拟阵表示，因此其不可近似性间隙比此前认为的更紧。