[论文解读] An Improved Quantum Max Cut Approximation via Maximum Matching

Lee, Eunou, Ojas Parekh|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对量子最大割（QMaxCut）问题的 SU(2)-对称半定规划（SDP）层次结构，利用 Navascués-Pironio-Acín（NPA）框架来利用自旋旋转对称性。通过刻画 SWAP 算符代数，证明了该层次结构在有限层级即可收敛至精确的 QMaxCut 值，展示了在关键图族上的精确性，并将 SDP 可解性与量子多体系统中的无 frustration 性联系起来。

ABSTRACT

Finding a high (or low) energy state of a given quantum Hamiltonian is a potential area to gain a provable and practical quantum advantage. A line of recent studies focuses on Quantum Max Cut, where one is asked to find a high energy state of a given antiferromagnetic Heisenberg Hamiltonian. In this work, we present a classical approximation algorithm for Quantum Max Cut that achieves an approximation ratio of 0.595, outperforming the previous best algorithms of Lee [Eunou Lee, 2022] (0.562, generic input graph) and King [King, 2023] (0.582, triangle-free input graph). The algorithm is based on finding the maximum weighted matching of an input graph and outputs a product of at most 2-qubit states, which is simpler than the fully entangled output states of the previous best algorithms.

研究动机与目标

• 为量子最大割问题开发一种尊重哈密顿量 SU(2) 不变性的对称感知 SDP 层次结构。
• 通过 SWAP 算符的代数结构，证明所提出的层次结构在有限层级收敛至精确的最优 QMaxCut 值。
• 建立 SDP 可解性与量子自旋系统中无 frustration 性之间的联系，推广凝聚态物理中的一个核心概念。
• 通过数值方法证明，SDP 方法即使在无 frustration 区域之外，也能近似海森堡型模型中的物理量。
• 为该层次结构在最低层级对重要图族的精确性或非精确性提供分析与计算证据。

提出的方法

• 通过引入 SU(2) 对称性，将 NPA 层次结构适配至 QMaxCut 问题，利用群论结构减少变量与约束数量。
• 基于自旋算符对称多项式构造矩陣，确保在全局自旋旋转下的不变性。
• 利用 SWAP 算符代数的代数刻画，证明该层次结构在有限层级收敛至精确的 QMaxCut 值。
• 应用平坦截断技术以在矩陣上强制秩条件，实现在低层级对最优解的精确恢复。
• 实现数值求解器，测试该层次结构在各类图（如奇圈、完全图）上的表现，与已知精确值进行比较。
• 通过分析哈密顿量及其矩陣的核结构，将 SDP 松弛与无 frustration 性概念联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 QMaxCut 构建一个 SU(2)-对称的 SDP 层次结构，使其在有限层级收敛至精确基态能量？
• RQ2 SWAP 算符代数的结构如何在 QMaxCut 的 NPA 层次结构中实现有限层级收敛？
• RQ3 SDP 可解性在多大程度上推广了量子自旋系统中无 frustration 性的概念？
• RQ4 该层次结构能否在奇圈和完全图等重要图族上精确求解 QMaxCut？
• RQ5 SDP 松弛在无 frustration 区域之外，对海森堡型模型中的物理可观测量近似效果如何？

主要发现

• 所提出的 SU(2)-对称 NPA 层次结构通过 SWAP 算符代数的代数结构，实现在有限层级收敛至精确的 QMaxCut 值。
• 该层次结构在奇圈与完全图上于层级 1 即实现精确性，且为这些情形提供了分析证明。
• 数值结果证实，对于奇完全图，QMaxCut 的求解是精确的，支持在低层级存在紧致的平方和证明。
• 即使在非无 frustration 区域，SDP 松弛仍能捕捉反铁磁海森堡模型的物理特征，表明其具有更广泛的物理相关性。
• 该层次结构在非平凡图上表现出实际收敛性，尽管具有凸性，但未出现局部极小值问题，表明其具有稳健的数值性能。
• 本工作建立了 SDP 可解性与无 frustration 性之间的正式联系，表明 SDP 可行性以计算上可行的方式推广了后一概念。