[论文解读] An improved upper bound on the length of the longest cycle of a supercritical random graph

Graeme Kemkes, Nicholas Wormald|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文改进了在 $ M = n/2 + s $ 条件下，超临界随机图 $ \mathcal{G}(n,M) $ 中最长圈长度的上界，其中 $ n^{2/3} = o(s) $ 且 $ s = o(n) $。通过利用核配置模型和边权分布分析核与核心结构，作者建立了圈长的渐近几乎必然上界 $ (6.958 + o(1))s^2/n $，优于 Łuczak 的先前上界 $ (7.496 + o(1))s^2/n $。

ABSTRACT

We improve Luczak's upper bounds on the length of the longest cycle in the random graph G(n,M) in the "supercritical phase" where M=n/2+s and s=o(n) but n^{2/3}=o(s). The new upper bound is (6.958+o(1))s^2/n with probability 1-o(1) as n approaches infinity. Letting c=1+2s/n, the equivalence between G(n,p) and G(n,M) implies the same result for G(n,p) where p=c/n, c approaching 1, c-1 = omega(n^{-1/3}).

研究动机与目标

• 在 $ M = n/2 + s $ 的超临界随机图 $ \mathcal{G}(n,M) $ 中，改进圈长（最长圈长度）的上界。
• 在相同参数范围内，改进 Łuczak 的先前上界 $ (7.496 + o(1))s^2/n $。
• 利用核配置模型分析 $ \mathcal{G}(n,M) $ 的核与核心结构特性。
• 在具有随机边权的伪图中，推导出最重圈权值的更紧集中不等式。
• 证明圈长渐近几乎必然不超过 $ (6.958 + o(1))s^2/n $。

提出的方法

• 利用核配置模型对超临界状态下 $ \mathcal{G}(n,M) $ 的核心与核的随机结构进行建模。
• 为核中的边分配随机边权，表示在核心重构过程中每条边插入的度数为 2 的顶点数量。
• 分析边权的渐近分布，表明有界权值集合的行为类似于独立的指数分布随机变量。
• 应用集中不等式，证明在有界权值子集上函数的和集中在其期望值附近。
• 利用 $ k $-可容许性条件（对常数 $ c^* $）来限制具有随机边权的伪图中最大圈权值。
• 结合预核与核心的结构性结果与概率界，推导出圈长的最终上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ M = n/2 + s $ 的超临界随机图 $ \mathcal{G}(n,M) $ 中，最长圈长度的最紧渐近上界是什么？
• RQ2 在 $ \mathcal{G}(n,M) $ 的核中，边权的渐近行为如何？能否用于限制圈长？
• RQ3 核配置模型能否被用于改进 Łuczak 的上界 $ (7.496 + o(1))s^2/n $？
• RQ4 $ k $-可容许性条件在限制加权伪图中最大圈权值时起什么作用？
• RQ5 核心与预核的结构性质在多大程度上限制了 $ \mathcal{G}(n,M) $ 中最长圈的长度？

主要发现

• 当 $ M = n/2 + s $，$ n^{2/3} = o(s) $，且 $ s = o(n) $ 时，$ \mathcal{G}(n,M) $ 的圈长渐近几乎必然不超过 $ (6.958 + o(1))s^2/n $。
• 通过分析核配置模型，推导出改进的上界，表明在具有随机边权的伪图中，最大圈权值被限制在 $ 8c^* $ 倍的顶点数以内，其中 $ c^* = 0.8697 $。
• 作者证明 $ c^* = 0.8697 $ 对 $ k=9 $ 是 $ k $-可容许的，从而得出最终上界 $ (8 \times 0.8697 + o(1))s^2/n = (6.958 + o(1))s^2/n $。
• 证明核心包含 $ o(s^2/n) $ 个度数为 2 的顶点，可被移除以形成预核，该部分对圈长估计可忽略不计。
• 预核 $ G $ 的度序列 a.a.s. 落在集合 $ D $ 内，且 $ D $ 满足顶点数、边数和三元组度数和的集中条件。
• 预核圈长不超过 $ c^* v({\bf d}) $ 的概率为 $ 1 + o(1) $，结合 $ v({\bf d}) \sim 8s^2/n $，可得出最终上界。