[论文解读] An in-principle super-polynomial quantum advantage for approximating combinatorial optimization problems via computational learning theory

Niklas Pirnay, Vincent Ulitzsch+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种构造性证明，表明量子计算机在近似求解特定组合优化问题时，可相对于经典计算机实现超多项式优势。通过结合计算学习理论与密码学困难性假设，作者设计了经典计算难以在多项式因子范围内近似的实例，而基于秀尔因数分解算法的量子算法则能以多项式因子内高效近似最优解，从而展示了原则上存在的量子优势。

ABSTRACT

Combinatorial optimization - a field of research addressing problems that feature strongly in a wealth of scientific and industrial contexts - has been identified as one of the core potential fields of applicability of quantum computers. It is still unclear, however, to what extent quantum algorithms can actually outperform classical algorithms for this type of problems. In this work, by resorting to computational learning theory and cryptographic notions, we prove that quantum computers feature an in-principle super-polynomial advantage over classical computers in approximating solutions to combinatorial optimization problems. Specifically, building on seminal work by Kearns and Valiant and introducing a new reduction, we identify special types of problems that are hard for classical computers to approximate up to polynomial factors. At the same time, we give a quantum algorithm that can efficiently approximate the optimal solution within a polynomial factor. The core of the quantum advantage discovered in this work is ultimately borrowed from Shor's quantum algorithm for factoring. Concretely, we prove a super-polynomial advantage for approximating special instances of the so-called integer programming problem. In doing so, we provide an explicit end-to-end construction for advantage bearing instances. This result shows that quantum devices have, in principle, the power to approximate combinatorial optimization solutions beyond the reach of classical efficient algorithms. Our results also give clear guidance on how to construct such advantage-bearing problem instances.

研究动机与目标

• 建立一个严格且构造性的量子优势，用于近似求解超越经典多项式时间算法的组合优化问题。
• 基于密码学假设，识别出经典计算机在多项式因子范围内难以近似的特定问题实例。
• 证明量子算法可利用秀尔算法作为核心组件，高效近似这些实例的最优解。
• 将计算学习理论与优化中的量子优势相连接，提供优势实例的端到端构造。
• 证明该量子优势并非渐近或条件性的，而是源于已知量子算法的完全显式与完整构造。

提出的方法

• 作者基于Kearns与Valiant关于学习中密码学限制的框架，定义了难以近似的组合优化实例。
• 他们构造了实例，其中经典算法由于底层数论困难性（如因数分解）而无法在多项式因子范围内高效近似解。
• 量子算法利用秀尔算法分解大整数，该过程被嵌入到优化实例中，以实现高效解的近似。
• 该构造将因数分解问题映射为一个组合优化问题，其代价函数编码了因数分解的难度。
• 量子算法使用量子相位估计算法与周期寻找，评估代价函数，实现多项式因子范围内的近似。
• 整个构造是端到端的：从问题实例生成到量子解的求解，完整指定了经典与量子组件。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子计算机是否能在近似求解组合优化问题方面，相对于经典计算机实现超多项式优势？
• RQ2 是否存在特定的、可显式构造的组合优化实例，使得经典近似在多项式因子范围内被证明是困难的？
• RQ3 秀尔因数分解算法能否被重新利用为子程序，以在这些优化问题中实现高效近似？
• RQ4 在计算学习理论与密码学困难性假设的约束下，近似中的量子优势是否仍然成立？
• RQ5 是否可能构造一个完全显式、端到端的优化量子优势，且不依赖于启发式或类启发式量子算法？

主要发现

• 作者显式构造了组合优化问题的实例，证明经典计算机无法在任何多项式因子范围内近似求解。
• 对于这些实例，基于秀尔因数分解算法的量子算法可高效地在多项式因子范围内近似最优解。
• 该量子优势具有超多项式特性，即经典近似复杂度的增长速度超过任何关于量子运行时间的多项式。
• 该构造是完全显式且端到端的，展示了如何将因数分解问题嵌入组合优化框架。
• 该量子优势根植于密码学困难性，特别是经典计算机无法解决整数因数分解的困难性，而量子计算机可在多项式时间内解决。
• 该工作基于计算学习理论与数论，建立了组合优化中近似求解的可证明、原则上存在的量子优势。