[论文解读] An Index for 2D field theories with large N=4 superconformal symmetry

Sergei Gukov, Emil J. Martinec+2 more|ArXiv.org|Apr 2, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用 23

一句话总结

本文引入了一种用于具有大 ${\cal N}=4$ 超共形对称性的二维量子场论的新指标，推广了 ${\cal N}=2$ 理论的椭圆亏格。该指标在保持对称性的形变下保持不变，并对非BPS谱系施加约束。通过作用于对称积理论的生成函数上的海克算子计算该指标，当 $\gcd(Q_1, Q_5) > 1$ 时揭示了新态，包括在标准对称积中不存在的无质量态。

ABSTRACT

We consider families of theories with large N=4 superconformal symmetry. We define an index generalizing the elliptic genus of theories with N=2 symmetry. In contrast to the N=2 case, the new index constrains part of the non-BPS spectrum. Motivated by aspects of the AdS/CFT correspondence we study the index in the examples of symmetric product theories. We give a physical interpretation of the Hecke operators which appear in the expressions for partition functions of such theories. Finally, we compute the index for a nontrivial example of a symmetric product theory.

研究动机与目标

• 为具有大 ${\cal N}=4$ 超共形对称性的二维场论定义一种新指标，推广 ${\cal N}=2$ 理论的椭圆亏格。
• 研究该指标在对称积对称轨道构造下的行为，受 AdS/CFT 和矩阵弦理论的启发。
• 从对称积理论中 '短弦' 和 '长弦' 算子的角度，提供海克算子的物理解释。
• 显式计算非平凡例子（如 ${\rm Sym}^N({\cal S})$，其中 ${\cal S}$ 是最简单的 ${\cal N}=4$ 理论）的指标。
• 识别并表征在 $\gcd(Q_1, Q_5) > 1$ 时出现在迭代对称积中的新无质量态，这些态在标准对称积中不存在。

提出的方法

• 通过 theta 函数和模性质，定义一个在保持 ${\cal A}_\gamma$ 代数的形变下不变的 ${\cal N}=4$ SCFT 新指标。
• 使用公式 (4.6) 将对称积理论 ${\rm Sym}^N({\cal C}_0)$ 的指标表示为种子理论 ${\cal C}_0$ 的生成函数的海克变换。
• 利用海克算子恒等式 $T_{p^{r_1}}T_{p^{r_2}} = \sum_{k=0}^{\min(r_1,r_2)} \frac{1}{p^k} T_{p^{r_1+r_2-2k}} W_{p^k}$ 比较迭代对称积与标准对称积。
• 通过计算涉及 $T_{p^{r-2k}} Z_0(\tau, z_\pm^{p^k})$ 的项，分析 $Z({\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S}))$ 与 $Z({\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S}))$ 的差异。
• 应用谱流和模变换对 NS 旋量中的无质量态进行分类，识别形如 $\bigoplus_{\alpha+\beta = a-1} (\cdots)$ 的态，其中 $a = p^{r-k-\delta}$。
• 通过两组解显式求解 $n_0$ 和 $m$，统计非互质 $Q_1, Q_5$ 产生的非平凡态，表明它们并非超重力态。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆亏格如何推广到具有大 ${\cal N}=4$ 超共形对称性的理论？会涌现出哪些新不变量？
• RQ2 在具有 ${\cal N}=4$ 对称性的对称积理论背景下，海克算子的物理解释是什么？
• RQ3 当 $\gcd(Q_1, Q_5) > 1$ 时，为何迭代对称积 ${\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S})$ 与标准对称积 ${\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S})$ 不同？会出现哪些新态？
• RQ4 由新指标约束的非BPS谱系的结构是什么？与 ${\cal N}=2$ 情况有何不同？
• RQ5 在迭代对称积谱中发现的新无质量态是否是物理的（例如，非超重力态）？它们如何被计数？

主要发现

• 对于 ${\cal N}=4$ SCFT 的新指标是非全纯的，不单纯计数 BPS 态，对非BPS 谱系的约束强于 ${\cal N}=2$ 椭圆亏格。
• 对称积理论 ${\rm Sym}^N({\cal C}_0)$ 的指标由种子理论的生成函数的海克变换给出，如公式 (4.6) 所示。
• 当 $Q_1$ 和 $Q_5$ 不互质时，迭代对称积 ${\rm Sym}^{Q_1}{\rm Sym}^{Q_5}({\cal S})$ 包含标准对称积 ${\rm Sym}^{Q_1 Q_5}({\cal S})$ 中不存在的额外无质量态，这由差值 $T_{p^{r_1}}T_{p^{r_2}}Z_0 - T_{p^r}Z_0$ 所揭示。
• 当 $Q_1 = Q_5 = p$ 时，唯一的额外态是 $m = n_0 = 0$ 的态，形成多重态 $\bigoplus_{\alpha+\beta = p-1} \left(\frac{\alpha+1}{2}, \frac{\beta+1}{2}; \frac{\alpha+1}{2}, \frac{\beta+1}{2}\right)_R$，经谱流后变为 $\bigoplus_{\beta=0}^{p-1} \left(\frac{p(p-1)-\beta}{2}, \frac{\beta}{2}; \cdots \right)_{\rm NS}$。
• 这些额外态源于 $N = Q_1 Q_5$ 的非平凡分解，且并非超重力态，这一点由 $p=2$ 时无此类态存在所证实。
• 额外态的谱由两组 $n_0$ 和 $m$ 的解构成，参数化为 $s$、$\delta$ 和 $k$，其中 $k$ 从 1 到 $\min(r_1, r_2)$，$\delta$ 从 0 到 $r - 2k$。