[论文解读] An Index for Superconformal Quantum Mechanics

Nick Dorey, Andrew Singleton|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文为具有 $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 对称性的量子力学系统引入了一个超共形指数，用于分类幺正最低权表示，并定义了一个在连续的超对称性保持变形下不变的指数。该指数仅计数短 multiplet 和半短 multiplet，对于具有三复结构同胚对称性的超凯勒锥上的 $ \sigma $-模型，其与一个具有未破缺 $ \mathfrak{su}(1|2)$ 对称性的超对称量子力学模型的 Witten 指数一致，从而对受保护的 BPS 状态提供了精炼计数。

ABSTRACT

We study quantum mechanical systems with $\mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ superconformal symmetry. We classify unitary lowest-weight representations of this superconformal algebra and define an index which receives contributions from short and semi-short multiplets only. We consider the example of a quantum mechanical $σ$-model with hyper-Kähler target $\mathcal{M}$ equipped with a triholomorphic homothety. The superconformal index coincides with the Witten index of a novel form of supersymmetric quantum mechanics for a particle moving on $\mathcal{M}$ in a background magnetic field in which an unbroken $\mathfrak{su}(1|2)$ subalgebra of the superconformal algebra is linearly realised as a global symmetry.

研究动机与目标

• 对 $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 超共形代数的幺正最低权表示进行分类。
• 定义一个在模型的连续超对称性保持变形下不变的超共形指数。
• 建立超共形指数与具有 $ \mathfrak{su}(1|2)$ 全局对称性的新型超对称量子力学模型的 Witten 指数之间的对应关系。
• 计算在超凯勒锥上的 $ \sigma $-模型中受保护的 BPS 状态谱，特别是瞬子模空间的情形。
• 利用 Hilbert 系列与 Poincaré 多项式，推导出半 BPS 与其它受保护 multiplet 的简并度的闭式表达式。

提出的方法

• 超共形指数定义为一个超迹：$ I(t,y) = \mathrm{tr}\left[(-1)^F e^{-\beta\mathcal{H}} t^{\mathbb{T}} y^{\mathbb{N}} \right] $，其中 $\mathcal{H}$ 在 BPS 状态上为零。
• 该指数被构造为仅从短 multiplet 和半短 multiplet 获得贡献，从而确保在长 multiplet 重组时保持不变。
• 该指数与一个具有背景磁场的超对称量子力学模型的 Witten 指数相关联，其中 $ \mathfrak{su}(1|2) $ 作为全局对称性实现。
• 对于超凯勒锥，通过在等变辛解析化上进行局部化计算指数，同时保持超共形代数的一个子代数。
• 从指数的 $ y \to \infty $ 极限中提取瞬子模空间上全纯函数的 Hilbert 系列，从而得到简并度的生成函数。
• 半 BPS multiplet $ S(n,n) $ 的简并度由满足 $ \sum_{j=1}^N j\ell(Y_j) = n $ 的总权重为 $ K $ 的 $ N $-色分拆数给出，其中 $ b_{2r} $ 为 Borel-Moore 上同调的 Betti 数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有 $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 对称性的量子力学系统定义一个在边际耦合下不变的超共形指数？
• RQ2 在具有磁场的超对称量子力学模型中，超共形指数与 Witten 指数之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 具有三复结构同胚对称性的超凯勒锥上的 $ \sigma $-模型的受保护 BPS 状态如何分解为 $ \mathfrak{osp}(4^{*}|4)$ 的不可约表示？
• RQ4 半 BPS multiplet $ S(n,n) $ 的精确简并度如何用瞬子模空间的拓扑不变量表示？
• RQ5 如何从超共形指数中提取瞬子模空间上全纯函数的 Hilbert 系列？

主要发现

• 超共形指数 $ I(t,y) $ 在理论的连续变形下保持不变，且仅计数短 multiplet 和半短 multiplet，排除因重组形成的长 multiplet。
• 对于具有三复结构同胚对称性的超凯勒锥上的 $ \sigma $-模型，超共形指数与一个具有 $ \mathfrak{su}(1|2) $ 全局对称性的超对称量子力学模型的 Witten 指数一致。
• 半 BPS multiplet $ S(n,n) $ 的简并度 $ N^{(n,n)} $ 由满足 $ \sum_{j=1}^N j\ell(Y_j) = n $ 的总权重为 $ K $ 的 $ N $-色分拆数给出，其与 Borel-Moore 上同调的 Betti 数 $ b_{2r} $ 相符。
• Poincaré 多项式 $ P^{(N,K)}(q) = \sum_r b_{2r} q^{2r} $ 作为指数在 $ t \to 0 $ 时的极限（其中 $ q = y/t $）出现，从而恢复 Nakajima 公式。
• 瞬子模空间上全纯函数的 Hilbert 系列 $ \mathrm{HS}(t,x,Z) $ 由指数的 $ y \to \infty $ 极限导出，得到 $ \mathrm{HS}(t,x,Z) = \sum_{\vec{Y}: ||\vec{Y}||=K} \prod_{i,j} \prod_{s \in Y_i} \mathrm{PE}\left[t^{g_{ij}(s)-1} x^{f_{ij}(s)} \frac{z_i}{z_j} (1+t^2) \right] $。
• 通过将 Hilbert 系列按特征标 $ \chi_R(x,Z) $ 展开，提取出 $ SS(r/2,d-1,d-1) $ multiplet 的简并度 $ N^{(j,d-1,d-1)}_R $，其中 $ \mathrm{HS}_R(t) = N^{(d,d)}_R + N^{(d,d-1)}_R t + \sum_r N^{(r/2,d-1,d-1)}_R t^{2+r} $。