[论文解读] An index formula for a bundle homomorphism of the tangent bundle into a vector bundle of the same rank, and its applications

Kentaro Saji, Masaaki Umehara+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文将适用于二维流形的高斯-博内型指标公式推广至偶数维流形，针对具有典型 $A_k$-奇点的共形切丛，建立了拓扑不变量。关键结果为一个公式，将目标丛的欧拉特征表示为具有相容共定向区域的欧拉特征与奇数指标 $A_k$-奇点的带符号计数之和，从而推广了曲面理论与超曲面几何中的先前结果。

ABSTRACT

In a previous work, the authors introduced the notion of `coherent tangent bundle', which is useful for giving a treatment of singularities of smooth maps without ambient spaces. Two different types of Gauss-Bonnet formulas on coherent tangent bundles on 22-dimensional manifolds were proven, and several applications to surface theory were given. Let $M^n$ ($n\ge 2$) be an oriented compact $n$-manifold without boundary and $TM^n$ its tangent bundle. Let $\mathcal E$ be a vector bundle of rank $n$ over $M^n$, and $φ:TM^n o \mathcal E$ an oriented vector bundle homomorphism. In this paper, we show that one of these two Gauss-Bonnet formulas can be generalized to an index formula for the bundle homomorphism $φ$ under the assumption that $φ$ admits only certain kinds of generic singularities. We shall give several applications to hypersurface theory. Moreover, as an application for intrinsic geometry, we also give a characterization of the class of positive semi-definite metrics (called Kossowski metrics) which can be realized as the induced metrics of the coherent tangent bundles.

研究动机与目标

• 将二维流形上适用于共形切丛的高斯-博内型指标公式推广至偶数维流形。
• 刻画束同态 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$ 在典型 $A_k$-奇点下的拓扑不变量。
• 将该公式应用于超曲面理论与内在几何，特别是 Kossowski 度量。
• 通过指标公式刻画共定向 Morin 度量。
• 将先前关于波前与奇异曲面的结果推广至高维。

提出的方法

• 将共形切丛定义为满足可积性条件 $D_X\varphi(Y) - D_Y\varphi(X) = \varphi([X,Y])$ 的束同态 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$。
• 引入 $k=2,\dots,n$ 的 $A_k$-奇点概念，其中奇数 $k$ 的正负性得以定义。
• 通过从 $\mathcal{E}$ 拉回度量与联络，定义 $M^n$ 上的诱导度量 $ds^2_\varphi$。
• 运用涉及子流形与奇点集欧拉特征的拓扑技术，推导出指标公式。
• 证明在仅存在典型 $A_k$-奇点的假设下，公式成立，特别是当 $n=2m$ 为偶数时。
• 通过度量与联络的拉回，建立 Kossowski 度量与共形切丛之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将二维流形上共形切丛的高斯-博内公式推广至更高维偶数流形？
• RQ2 在束同态 $\varphi: TM^n \to \mathcal{E}$ 具有典型奇点时，哪些拓扑不变量控制向量丛 $\mathcal{E}$ 的欧拉特征？
• RQ3 特别是对于奇数 $k$ 的 $A_k$-奇点，如何影响流形的整体拓扑？
• RQ4 在何种条件下，非负定度量（Kossowski 度量）可作为共形切丛的诱导度量？
• RQ5 该指标公式能否用于刻画紧致偶数维流形上的 Morin 度量？

主要发现

• 对于紧致定向偶数维流形 $M^{2m}$，向量丛 $\mathcal{E}$ 的欧拉特征为 $\chi_{\mathcal{E}} = \chi(M^{2m}_+) - \chi(M^{2m}_-) + \sum_{j=1}^{m} \left( \chi(\mathfrak{A}^{+}_{2j+1}) - \chi(\mathfrak{A}^{-}_{2j+1}) \right)$，其中 $\mathfrak{A}^{\pm}_{2j+1}$ 分别为正负 $A_{2j+1}$-奇点的集合。
• 该公式推广了二维情形：当 $n=2$ 时，公式退化为 $\chi_{\mathcal{E}} = \chi(M^2_+) - \chi(M^2_-) + \#\mathfrak{A}^+_3 - \#\mathfrak{A}^-_3$，恢复了波前的已知结果。
• 当且仅当度量与联络的拉回在整个流形上满足可积性条件 (1.1) 时，$M^n$ 上的 Kossowski 度量 $ds^2$ 才会诱导出一个共形切丛。
• 共定向 Morin 度量在 $M^{2m}$ 上满足指标公式 (1.4)，推广了 [7, Prop. 3.3]。
• 对于 $M^{2m}$ 上的共形平坦度量 $g$，若其对偶度量 $\check{g}$ 仅含 $A_k$-奇点且 $2 \leq k \leq 2m+1$，则奇点集满足指标公式，其中 $M^{2m}_\pm$ 由施陶滕张量行列式的符号定义。
• 通过截断函数扩展向量场并逼近为典型场，证明了具有典型零点的特征向量场的存在性。