[论文解读] An index formula for hypersurfaces which admit only generic corank one singularities

Kentaro Saji, Masaaki Umehara+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2012

Geometry and complex manifolds被引用 3

一句话总结

本文将 Gauss-Bonnet 型指标公式推广至紧致 n-维流形上切丛与秩 n 向量丛之间的定向向量丛同态，在同态仅具有典型余维一奇点的条件下。关键贡献是一个推广的拓扑指标公式，该公式扩展了此前关于一致切丛的结果，并在超曲面理论与 Kossowski 度量的内在几何中开启新的应用。

ABSTRACT

In a previous work, the authors introduced the notion of `coherent tangent bundle', which is useful for giving a treatment of singularities of smooth maps without ambient spaces. Two different types of Gauss-Bonnet formulas on coherent tangent bundles on 22-dimensional manifolds were proven, and several applications to surface theory were given. Let $M^n$ ($n\ge 2$) be an oriented compact $n$-manifold without boundary and $TM^n$ its tangent bundle. Let $\mathcal E$ be a vector bundle of rank $n$ over $M^n$, and $\varphi:TM^n o \mathcal E$ an oriented vector bundle homomorphism. In this paper, we show that one of these two Gauss-Bonnet formulas can be generalized to an index formula for the bundle homomorphism $\varphi$ under the assumption that $\varphi$ admits only certain kinds of generic singularities. We shall give several applications to hypersurface theory. Moreover, as an application for intrinsic geometry, we also give a characterization of the class of positive semi-definite metrics (called Kossowski metrics) which can be realized as the induced metrics of the coherent tangent bundles.

研究动机与目标

• 将此前在一致切丛上建立的 Gauss-Bonnet 公式推广至仅具有典型余维一奇点的更广类同态。
• 为紧致、定向 n-流形上从切丛到秩 n 向量丛的定向向量丛同态建立一个拓扑指标公式。
• 将推广的指标公式应用于超曲面理论中的问题，特别是涉及诱导度量奇点的问题。
• 刻画可作为一致切丛上诱导度量实现的正半定度量（Kossowski 度量）的类别。
• 提供一个无需依赖环境空间的框架，用于研究光滑映射的奇点，利用一致切丛形式化方法。

提出的方法

• 利用一致切丛的形式化方法，以内在方式处理光滑映射的奇点，无需嵌入到环境空间中。
• 应用微分拓扑技术分析向量丛同态 φ: TM^n → ℰ 的奇点集，仅假设其具有典型余维一奇点。
• 采用从特征类和丛的欧拉类导出的广义 Gauss-Bonnet 型公式，并将其适配到奇点情形。
• 依赖于 φ 的奇点集为余维 n−1 子流形的假设，以确保奇点类型的横截性与可积性。
• 将指标公式应用于计算奇点集的拓扑不变量，并将其与流形的全局不变量关联。
• 利用指标公式推导出正半定度量（Kossowski 度量）作为一致切丛上诱导度量出现的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一致切丛上 Gauss-Bonnet 公式推广至仅具有典型余维一奇点的向量丛同态？
• RQ2 向量丛同态奇点集的拓扑不变量如何与底层流形的全局拓扑相关联？
• RQ3 正半定度量可作为一致切丛上诱导度量实现的充要条件是什么？
• RQ4 推广的指标公式在具有奇异诱导度量的超曲面中可如何应用？
• RQ5 通过一致切丛的内在方法，如何改进对曲面与超曲面理论中奇点的研究？

主要发现

• 为紧致、定向 n-流形上仅具有典型余维一奇点的定向向量丛同态 φ: TM^n → ℰ 建立了拓扑指标公式。
• 该指标公式将此前在一致切丛上的 Gauss-Bonnet 结果推广至更广类映射，扩展了其在奇异超曲面中的适用性。
• 该公式使得可通过奇点集上的局部数据计算全局不变量，将奇点类型与拓扑不变量相联系。
• 本文提供了 Kossowski 度量的刻画：即恰好为那些可作为一致切丛上诱导度量实现的正半定度量。
• 导出了在超曲面理论中的应用，包括对诱导度量奇点集的拓扑约束。
• 内在框架使得无需依赖环境空间嵌入，即可对光滑映射的奇点进行奇点理论处理。