[论文解读] An index theorem for families invariant with respect to a bundle of Lie groups

Victor Nistor|ArXiv.org|Jun 28, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文建立了关于在自由作用于纤维丛上的单连通可解李群丛下不变的椭圆算子族的指标定理。通过非交换几何与费多索夫乘积，利用类阿蒂亚-辛格公式的途径计算了等变族指标的陈特征，并推导出局部指标公式，将结果推广至依赖参数的伪微分算子，并在K-理论中构造了高阶 eta 不变量。

ABSTRACT

We define the equivariant family index of a family of elliptic operators invariant with respect to the free action of a bundle $\GR$ of Lie groups. If the fibers of $\GR o B$ are simply-connected solvable, we then compute the Chern character of the (equivariant family) index, the result being given by an Atiyah-Singer type formula. We also study traces on the corresponding algebras of pseudodifferential operators and obtain a local index formula for such families of invariant operators, using the Fedosov product. For topologically non-trivial bundles we have to use methods of non-commutative geometry. We discuss then as an application the construction of ``higher-eta invariants,'' which are morphisms $K_n(\PsS {\infty}Y) o \CC$. The algebras of invariant pseudodifferential operators that we study, $\Psm {\infty}Y$ and $\PsS {\infty}Y$, are generalizations of ``parameter dependent'' algebras of pseudodifferential operators (with parameter in $\RR^q$), so our results provide also an index theorem for elliptic, parameter dependent pseudodifferential operators.

研究动机与目标

• 定义并计算在李群丛作用下不变的椭圆算子族的等变族指标。
• 将阿蒂亚-辛格指标公式推广至由单连通可解李群丛编码对称性的族。
• 利用费多索夫乘积在不变伪微分算子代数上建立局部指标公式。
• 作为从不变伪微分算子代数的K-理论到复数的同态，构造高阶 eta 不变量。
• 推广依赖参数的伪微分算子代数，并证明此类族的指标定理。

提出的方法

• 通过李群丛在基空间B上的纤维丛上的作用来定义等变族指标。
• 借助单连通可解李群纤维的性质，利用类阿蒂亚-辛格公式计算指标的陈特征。
• 采用非交换几何技术处理经典方法失效的拓扑非平凡丛。
• 使用费多索夫乘积在不变伪微分算子代数上构造局部指标公式。
• 引入代数 $\PsS^\infty Y$ 和 $\Psm^\infty Y$，作为依赖参数的伪微分算子代数的推广。
• 利用所发展的指标理论，将高阶 eta 不变量构造为 $K_n(\PsS^\infty Y)$ 上的迹，映射到 $\mathbb{C}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为在李群丛作用下不变的椭圆算子族定义等变族指标？
• RQ2 当李群纤维为单连通可解时，等变族指标的陈特征是什么？
• RQ3 能否利用费多索夫乘积为不变伪微分算子导出局部指标公式？
• RQ4 非平凡拓扑丛如何影响不变族的指标理论？需要何种工具来处理？
• RQ5 该指标理论对在K-理论中构造高阶 eta 不变量有何影响？

主要发现

• 通过类阿蒂亚-辛格公式，计算了在单连通可解李群丛作用下不变的族的等变族指标的陈特征。
• 利用费多索夫乘积，为代数 $\PsS^\infty Y$ 和 $\Psm^\infty Y$ 建立了局部指标公式。
• 结果推广至依赖参数的伪微分算子，扩展了该设定下的指标定理。
• 高阶 eta 不变量被构造为同态 $K_n(\PsS^\infty Y) \to \mathbb{C}$，在K-理论中提供了新的不变量。
• 非交换几何方法在处理拓扑非平凡丛时至关重要，经典方法在此失效。