[论文解读] An index theorem for families of elliptic operators invariant with respect to a bundle of Lie groups

Victor Nistor|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 2

一句话总结

本文建立了关于在单连通可解李群丛上自由作用下不变的椭圆算子族的等变族指标定理。通过非交换几何与福多索乘积，推导出一个局部指标公式，并利用阿蒂亚-辛格型公式计算指标的陈类，同时证明了在 s=0 处 eta 不变量的正则性，并导出涉及 D⁻¹D′ 的迹公式。

ABSTRACT

Abstract. We define the equivariant family index of a family of elliptic operators invariant with respect to the free action of a bundle G of Lie groups. If the fibers of G → B are simply-connected solvable, we then compute the Chern character of the (equivariant family) index, the result being given by an Atiyah-Singer type formula. We also study traces on the corresponding algebras of pseudodifferential operators and obtain a local index formula for such families of invariant operators, using the Fedosov product. For topologically non-trivial bundles we have to use methods of non-commutative geometry. We discuss then as an application the construction of “higher-eta invariants,” which are morphisms Kn(Ψ ∞ inv (Y)) → C. We also obtain new proofs of the regularity at s = 0 of η(D0, s), the eta function of D0, and of the relation η(D0, s) = π−1Tr1(D −1D ′) (here D = D0 + ∂t, D ′ = [D,t]). The algebras of invariant pseudodifferential operators that we study, ψ ∞ inv (Y) and Ψ ∞ inv (Y), are generalizations of “parameter dependent ” algebras of pseudodifferential operators (with parameter in Rq), so our results provide also an index theorem for

研究动机与目标

• 定义并计算在单连通可解李群丛上自由作用下不变的椭圆算子族的等变族指标。
• 将依赖参数的伪微分算子代数推广至非平凡丛上的等变设定。
• 利用非交换几何中的福多索乘积建立局部指标公式。
• 构造从不变伪微分算子的 K-理论到复数的高阶 eta 不变量作为态射。
• 为 eta 函数在 s=0 处的正则性以及迹恒等式 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′) 提供新证明。

提出的方法

• 为在单连通可解李群丛 G → B 上自由作用下不变的算子定义等变族指标。
• 利用陈类将指标转化为特征类，通过阿蒂亚-辛格型公式进行计算。
• 运用非交换几何技术处理拓扑上非平凡的丛。
• 通过福多索乘积在不变伪微分算子代数上构造迹。
• 结合福多索乘积与循环上同调方法，推导出局部指标公式。
• 利用迹公式证明恒等式 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′) 及 η(D₀,s) 在 s=0 处的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为在单连通可解李群丛上不变的椭圆算子族定义并计算等变族指标？
• RQ2 等变族指标的陈类在特征类方面如何表达？
• RQ3 如何利用福多索乘积为这类族构造局部指标公式？
• RQ4 非交换几何在处理李群丛的拓扑非平凡性中起什么作用？
• RQ5 高阶 eta 不变量如何从不变伪微分算子的 K-理论中导出？

主要发现

• 通过阿蒂亚-辛格型公式计算了等变族指标的陈类，为指标提供了拓扑表达式。
• 利用不变伪微分算子代数上的福多索乘积推导出局部指标公式。
• 证明了 eta 函数 η(D₀,s) 在 s=0 处正则，解决了关键的分析问题。
• 确立了恒等式 η(D₀,s) = π⁻¹Tr₁(D⁻¹D′)，将 eta 不变量与 D⁻¹D′ 的换位子迹联系起来。
• 构造了高阶 eta 不变量为 Kn(Ψ∞inv(Y)) → C 的态射，扩展了经典 eta 不变量。
• 代数 Ψ∞inv(Y) 和 ψ∞inv(Y) 推广了依赖参数的伪微分算子代数，将其指标理论扩展至等变设定。