[论文解读] An Index Theory for Paths that are Solutions of a Class of Strongly Indefinite Variational Problems

Paolo Piccione, Daniel V. Tausk|ArXiv.org|Aug 6, 2001

Optimization and Variational Analysis参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文为求解强不定变分问题的路径发展了一套新的指标理论，特别适用于具有对称性的半黎曼流形中的测地线。通过利用对易的卡林场消去负方向，将测地线作用泛函约化为有下界的泛函，其Morse指标有限，并将该指标与Maslov指标关联，证明了在Gödel型和静态半黎曼流形中测地线的Morse关系。

ABSTRACT

We prove a generalized version of the Morse index theorem for geodesics endowed with a non positive definite metric tensor (semi-Riemannian manifolds). We apply the result to obtain lower estimates on the number of geodesics joining two fixed non conjugate points in certain classes of manifolds. More specifically, we consider semi-Riemannian manifolds $(M,\mathfrak g)$ admitting a smooth distribution spanned by commuting Killing vector fields and containing a maximal negative distribution for $\mathfrak$. In particular we obtain Morse relations for stationary semi-Riemannian manifolds and for the {\em Gödel-type} manifolds.

研究动机与目标

• 将Morse理论推广至标准Palais–Smale条件和有限Morse指标均不成立的强不定变分问题。
• 解决在半黎曼几何中计算Morse指标的挑战，特别是针对具有非定度量和无限维临界点指标的流形中的测地线。
• 建立约化泛函的有限指标与相应测地线的几何Maslov指标之间的联系。
• 为特定类别的半黎曼流形（如Gödel型和静态流形）中连接两个非共轭点的测地线数量，推导出Morse关系。

提出的方法

• 通过限制到保持与对易卡林场相关的守恒律的曲线，约化半黎曼流形上测地线作用泛函。
• 利用涉及双线性型 $B^{ ext{int}}_{ ilde{ ho}}(b)$ 的线性系统解，构造约化流形 $M_0$ 中基曲线空间与 $M$ 中完整测地线空间之间的微分同胚。
• 在希尔伯特流形 $\tilde{ ho}_{p_0q_0}(M_0)$ 上定义约化泛函 $E_0$，在度量和曲率算子有界假设下，该泛函有下界且满足Palais–Smale条件。
• 通过公式 $n_-(d^2E_0(\tilde{\rho}_0)) = \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}(\gamma) - \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$ 将约化泛函的Morse指标与完整Maslov指标和约化Maslov指标之差联系起来。
• 在希尔伯特流形上应用标准Morse理论，通过将环路空间 $\Omega^{(0)}(M)$ 的贝蒂数与给定指标差的测地线数量关联，推导出Morse关系。
• 将该理论应用于Gödel型和静态半黎曼流形，其中极大负分布和对易卡林场的存在使得约化成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Morse理论扩展至标准指标和Palais–Smale条件均不成立的强不定变分问题？
• RQ2 约化泛函的有限Morse指标在几何上意味着什么，其与原始测地线的Maslov指标有何关系？
• RQ3 能否在具有对称性的半黎曼流形（如Gödel型或静态流形）中为测地线建立Morse关系？
• RQ4 约化Maslov指标与完整Maslov指标之间有何关系，其在一般情形下能否显式计算？
• RQ5 在何种条件下，约化泛函有下界且满足Palais–Smale条件？

主要发现

• 在非退化临界点处，约化泛函 $E_0$ 的Morse指标等于完整Maslov指标与约化Maslov指标之差：$n_-(d^2E_0(\tilde{\rho}_0)) = \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}(\gamma) - \mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$。
• 在度量和双线性型 $B^{ ext{int}}_{\tilde{\rho}}(b)$ 的适当有界性假设下，泛函 $E_0$ 有下界且满足Palais–Smale条件。
• 从 $p$ 到 $q$ 且指标差为 $i$ 的测地线数量满足Morse关系：$\sum_{i=0}^{\infty}n_i(p,q)\lambda^i = \mathfrak{P}_\lambda(\Omega^{(0)}(M);\mathbb{K}) + (1+\lambda)Q(\lambda)$，其中 $\mathfrak{P}_\lambda$ 为环路空间的Poincaré多项式。
• 环路空间 $\Omega^{(0)}(M)$ 与基曲线空间 $\Omega_{p_0q_0}(M_0)$ 同伦等价，从而可应用标准Morse理论。
• 约化Maslov指标 $\mathrm{i}_{\mathrm{Maslov}}^{\scriptscriptstyle\mathrm{red}}(\gamma)$ 可通过公式 (2.26) 一般性地计算，该公式涉及拉格朗日子空间中路径的交数。
• 该理论适用于Gödel型流形和静态半黎曼流形，其中极大负分布和对易卡林场的存在使得约化成为可能。