[论文解读] An inductive-recursive universe generic for small families

Daniel Gratzer|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2022

Advanced Topology and Set Theory被引用 4

一句话总结

本文在格罗滕迪克拓扑中提出了一种通用的归纳-递归类型论构造，支持带有单射类型构造子的观察类型论（TT obs）。通过使用一个小型归纳-递归定义，结合严格塔斯基风格的类型论宇宙和提升操作，作者确保了小族的累积性和通用性，使 TT obs 成为在各种范畴模型中均可行的内部语言。

ABSTRACT

We show that it is possible to construct a universe in all Grothendieck topoi with injective codes a la Pujet and Tabareau which is nonetheless generic for small families. As a trivial consequence, we show that their observational type theory admits interpretations in Grothendieck topoi suitable for use as internal languages.

研究动机与目标

• 解决标准集合论模型中观察类型论（TT obs）的单射类型构造子在语义上的不兼容性问题。
• 通过构造一个对小族保持通用性的类型论宇宙，将 TT obs 扩展至任意格罗滕迪克拓扑。
• 证明一个小型归纳-递归类型论宇宙，结合严格塔斯基风格编码，可在复杂的范畴设定中支持累积性和内部类型论。
• 表明标准归纳-递归构造可被调整，以在相对 κ-紧致族中保持通用性。

提出的方法

• 使用小型归纳-递归定义，在格罗滕迪克拓扑中构造一个类型论宇宙 V_i，同时定义一个类型族 A:U_1 和一个解码函数 r:El_V_i(A) → type。
• 引入一个提升操作 'up'，将类型 A 映射到更高类型论宇宙中的编码，确保在类型论宇宙层级之间实现严格累积性。
• 采用塔斯基风格的类型论宇宙，通过显式解码函数 El，确保类型构造子 Π 和 Σ 与编码之间在同构意义下保持一致。
• 对标准归纳-递归类型论宇宙进行修改，以确保其对小族（包括相对 κ-紧致族）保持通用性。
• 在广义代数理论框架下应用该构造，抽象处理一致性和部分解释问题。
• 利用 'up' 构造将低层级类型嵌入更高类型论宇宙，保持类型结构并实现严格层级。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在格罗滕迪克拓扑中构造一个支持 TT obs 所需单射类型构造子的归纳-递归类型论宇宙？
• RQ2 如何在保持范畴模型中累积性的前提下，使类型论宇宙对小族保持通用性？
• RQ3 是否可以利用小型归纳-递归和塔斯基风格类型论宇宙，在 TT obs 中实现严格累积的层级结构？
• RQ4 所构造的类型论宇宙能否作为任意格罗滕迪克拓扑中的可行内部语言？
• RQ5 对标准归纳-递归类型论宇宙进行何种修改，可使其对标准类型论层级之外的族也保持通用性？

主要发现

• 可在任意格罗滕迪克拓扑中构造一个小型归纳-递归类型论宇宙，支持单射类型构造子，从而解决了标准集合论模型中的语义问题。
• 该构造确保类型论宇宙对小族（包括相对 κ-紧致族）保持通用性，这对内部类型论至关重要。
• 通过使用严格塔斯基风格类型论宇宙及 'up' 提升操作，实现了支持可判定类型检查的严格累积层级。
• 该模型满足所有必需的类型构造子同构关系，确保通过编码解码正确解释 Π 和 Σ 类型。
• 该方法使 TT obs 能够在任意格罗滕迪克拓扑中被解释，确立其在多样化范畴设定中的可行内部语言地位。
• 该方法将 [PT22] 的构造推广至所有格罗滕迪克拓扑，扩展了其在集合论模型之外的适用范围。